die Aufgabe lautet:
Jedem $$x \in [-1, 1]$$ wird eine Lösung der Gleichung $$x^2 + y^2 = 1$$ zugeordnet.
Überprüfen Sie, ob diese Zuordnungsvorschrift umkehrbar bzw. durch entsprechende Einschränkung des Definitions- und Wertebereichs in eine umkehrbare Funktion überführt werden kann.
Meine Lösung: Ja, das wäre ja so nichtmal eine Abbildung, denn $$x \mapsto \pm \sqrt{1-x^2}$$, da kann y für -1 < x < 1 ja immer zwei Werte annehmen, was bei Abbildungen nicht sein darf.
Also habe ich eine Funktionsvorschrift aufgestellt:
$$f: [0,1] \rightarrow [0,1]: x \mapsto \sqrt{1-x^2}$$
f sollte jetzt sowohl injektiv sein, da es keine zwei verschiedenen x-Werte gibt die denselben y-Wert haben und surjektiv, weil der gesamte Wertebereich [0,1] abgedeckt wird. Also ist f bijektiv und somit umkehrbar.
Und die Umkehrfunktion wäre
$$f^{-1}: [0,1] \rightarrow [0,1]: x \mapsto \sqrt{-x^2 + 1}$$
Ist das alles korrekt?
Danke,
Thilo
