Welche der Abbildungen sind injektiv, surjektiv oder bijektiv? f: Q\ {1} -> Q,x -> x / (x-1)

Question

a) f: Q\ {1} -> Q,x -> x / (x-1)

b) f: Q -> Q, x -> { x+1, falls x < 0
                               x -1, falls x > 0

Answer 1

Zu a) das ist denke ich injektiv, aber nicht surjektiv und folglich auch nicht bijektiv.

wenn man zwei beliebige x1, x2 aus dem Definitionsbereich von f nimmt und f(x1) = f(x2) setzt, kann man, da die 1 aus dem Definitionsbereich ausschließen kann, beide Funktionen umformen, so dass x1 = x2 folgt. Also ist f injektiv.

Zur Surjektivität: 1 aus dem Wertebereich wird nicht von einem x getroffen. Setzt man x/(x-1) = 1, folgt 0 = -1, was offensichtlich falsch ist. Also gibt es kein x aus dem Definitionsbereich, wo f(x) = 1 ist.

Comments

danke und trotz knapper Schilderung gut verstanden