Wie beweist man, dass der Quotient des Zähler- und Nennergrads einer gebrochenrat. Funktion die Asymptote ist?

Question

Ein Beispiel:

Wenn Zählergrad = Nennergrad

f(x)=(3x^2-1)/(2x^2+2)

Asymptote: y=3/2

Answer 1

Ich habe gerade Spaß mit \(\LaTeX\), also los \(\ddot\smile\)

Letzendlich einfach nur Polynomdivision:

$$\begin{aligned}f(x)&=\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0}{b_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +b_1x+b_0}\\ \\ &=(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0):(b_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +b_1x+b_0)\\ \\ &=\frac{a_n}{b_n}+\frac{ \frac{a_{n-1}b_n-a_nb_{n-1}} {b_n}x^{n-1}+\frac{a_{n-2}b_n-a_nb_{n-2}} {b_n}x^{n-2}+\dots+\frac{a_{1}b_n-a_nb_{1}} {b_n}x+\frac{a_{0}b_n-a_nb_{0}} {b_n}}   {b_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +b_1x+b_0} \\ \\ &=\frac{a_n}{b_n}+\frac{c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+\dots+c_{1}x+c_{0}}  {b_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +b_1x+b_0}\end{aligned}$$

$$ \lim_{x->\pm\infty}{\left(\frac{a_n}{b_n}+\frac{c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+\dots+c_{1}x+c_{0}}  {b_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +b_1x+b_0}\right)}=\dots=\frac{a_n}{b_n} $$

Comments

Vielen dank. Muss man sowas in einer Klausur als Beweis anführen, um diese Regel weiter zu verwenden?

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In der Schule, in der Uni? Spielt eigentlich keine Rolle: entweder ihr habt besprochen, dass man die Asymptote so ablesen kann, dann solltest du es auch benutzen dürfen. Oder ihr habt es nicht besprochen, dann würde ich in einer Klausur keine Zeit mit einem allgemeinen Beweis verschwenden, sondern gleich mit den Zahlen die Polynomdivision durchführen - kannst dein Ergebnis dann ja wenigstens mit dem erwarteten Ergebnis vergleichen... Am besten aber den Lehrer nochmal fragen.

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Es geht um Grenzwertberechnung; es ist bei den Aufgaben, die denselben Nenner- und Zählergrad haben viel ökonomischer einfach diese Regel anzuwenden.

In der Schule haben wir das nicht besprochen. Ich werde noch einmal nachfragen - danke für den Beweis. Ich dachte schon an die Polynomdivision, aber war mir bei der Umsetzung nicht sicher.

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Das war jetzt relativ komplex und aufgebläht, weil ich es allgemein bewiesen habe, für Funktionen wie die deine ist die Polynomdivision ja nicht umfangreich, inbesondere, da du nach dem ersten Durchlauf aufhörst:

$$\begin{aligned}&(3x^2-1):(2x^2+2)=\frac{3}{2}-\frac{4}{2x^2+2}\\ -&\underline{(3x^2+3)}\\ &\qquad-4 \end{aligned}$$

$$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}{\left( \frac{3}{2}-\frac{4}{2x^2+2}\right)}=\frac{3}{2}$$

Geht wahrscheinlich genauso schnell aufzuschreiben, als einen Satz auszuformulieren, in dem du auf die Leitkoeffizienten der Zähler- und Nennerpolynome verweist.

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Kann man nicht auch mit dem Wachstumsverhalten argumentieren?

Die \(+2\) und \(-1\) werden in der Unendlichkeit ja zu Lachnummern. \(x^2\) und \(x^2\) wachsen gleich schnell, nur die Vorfaktoren  werden also betrachtet.

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Das ist die grundlegende Idee hinter der Grenzwertbetrachtung und es ist gut, wenn man das verstanden hat. Das ist ja letztendlich genau das, was betrachtet wird, wenn du direkt \(\lim_{x\rightarrow\infty}{f(x)}\) berechnest (also ohne Polynomdivision, sondern z.B. durch erweitern mit \(\frac{1}{x^2}\) in deiner Beispielaufgabe) - solange wie du eine waagerechte Asymptote hast, liefert dir dieser Grenzwert ja auch die Asymptote.

Die Argumentation hieb und stichfest (mathematisch) im Text zu formulieren ist aber wahrscheinlich nicht ganz leicht. Und die Grenzwertberechnung ist auch meist etwas klobig aufzuschreiben, deshalb nimmt man die Polynomdivision - die Grenzwertberechnung in meinem Kommentar oben ist da normalerweise auch nicht mehr verlangt (ich habe sie ja auch nicht ausgerechnet, sonder nur das Ergebnis angegeben) - nach der Polynomdivision liest du die Asymptote direkt ab.

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$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2-1}{2x^2+2}$$$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2\left(3-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2+\frac{2}{x^2}\right)}$$ Daraus folgt:

(3-0)/(2+0)=3/2

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Geht doch genauso schnell!