Negation von Quantoren ohne Aussage

Question

wenn man einen Quantor in einer Aussage negiert wird er zum anderen Quantor (Allquantor -> Existenzquantor, Existenzquantor -> Allquantor) und die Aussage selbst wird negiert. Nun habe ich stehen, dass die Negation von ∀ gleich der Negation von ∃ ist :

¬∀  = ∃¬, und andersrum.

Nicht alle = es existiert nicht, das stimmt doch nicht? Nicht alle kann ja auch ein Teil enthalten, während existiert nicht, nichts enthält. Kann mir jemand die Definition erklären?

Answer 1

Deine Interpretation von ∃¬ stimmt nicht, es müsste eher heißen: "Es existiert mind. einer, der nicht...". Denk dran hinter den Quantoren steht ja irgendeine Aussage und ohne macht es nicht viel Sinn. "Nicht alle Vögel können fliegen" ist äquivalen zu "Es existiert ein Vogel, der nicht fliegen kann", oder in Symbolen:

V: Menge aller Vögel
F(v): v kann fliegen

¬∀v∈V(F(v)) ⇔ ∃v∈V(¬F(v))