zu zeigen ist eine nullfolge.beweis oder gegenbeispiel

Question

Aufgabe:

Sei $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Nullfolge und $\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ eine beschränkte Folge. Zeigen Sie, dass $\left(a_{n} \cdot b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ dann ebenfalls eine Nullfolge ist. Kann auf die Voraussetzung,$\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ ist beschränkt" verzichtet werden? Begründen Sie Ihre Antwort (Beweis oder Gegenbeispiel).

Answer 1

ein Gegenbeispiel lautet: $a_n = \frac{1}{n}$ und $b_n = n^2$. Die Folge $b_n$ ist offensichtlich nicht beschränkt, $a_n$ ist eine Nullfolge.

Das Produkt $a_n b_n = n$ ist keine Nullfolge.

Schon $b_n = n$ hätte durch $a_n b_n = 1$ nicht die Eigenschaft, dem Produkt von $a_n$ und $b_n$ die Nullfolgeneigenschaft von $a_n$ zu vererben.

MfG

Mister