Vektoren, die ein Dreieck bilden sollen ...

Question

leider kein plan ???hat jemand den rechenweg =?

Answer 1

Hallo Chingo,

leider kein Plan ?

zumindest solltest Du Dir eine Zeichnung machen. So eine wie diese:

Dort siehst Du den (grünen) Vektor \(\vec{a}\) mit der Länge \( \| \vec{a} \| = 3\) und den (blauen) Vektor \(\vec{b}\) mit der Länge \(\|\vec{b}\| = 5\). Der Winkel (rot) zwischen beiden Winkeln beträgt 30°. Gefragt ist nun nach einem Dreieck was durch \(\vec{a}\) und \(\vec{a} + \vec{b}\) aufgespannt wird. Den Vektor \(\vec{a} + \vec{b}\) bilde ich, indem ich den Vektor \(\vec{a}\) einfach nochmal an \(\vec{b}\) anhänge. Die Reihenfolge spielt bei der Addition von Vektoren keine Rolle. D.h. der Vektor \(\vec{a} + \vec{b}\) ist nun der Vektor von \(A\) nach \(C\) in der Zeichnung.

Die Fläche \(F\) des grünen Dreiecks \(\triangle ABC\) ist wie bei allen Dreiecken $$F = \frac12 h g$$ Die Grundseite \(g\) ist hier \(g=|AB| = \|\vec{a}\| = 3\) und die Höhe \(h\) (schwarz) ist $$h = \|\vec{b}\| \cdot \sin(30°) = 5 \cdot \frac12$$ Macht dann $$F = \frac12 hg = \frac12 \cdot 5 \cdot \frac12 \cdot 3 = 3,75$$ Vielleicht fällt Dir auf, dass es für die Berechnung der Fläche völlig egal ist, ob das Dreieck durch \(\vec{a}, \vec{a}+\vec{b}\) oder einfach durch \(\vec{a}, \vec{b}\) gebildet wird. Falls irgendetwas unklar ist, so frage bitte nach.

Gruß Werner

Comments

hab ich jetzt auch ganz gut verstanden danke hierfür....

eine frage noch : das mit dem sinus mal ankathete ist eine allgemeine formel oder für die höhe des dreiecks oder?

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... das mit dem Sinus mal Ankathete ist eine allgemeine Formel?

Es ist der Zusammenhang, der den Sinus definiert. Ich habe die Skizze aus meiner Antwort noch mal gezeichnet und dort den Punkt \(F\) - den Fußpunkt von \(D\) auf die Gerade durch \(AB\) - zusätzlich eingezeichnet.

Das Dreieck \(\triangle AFD\) (nein keine Partei) ist ein rechtwinkliges mit rechtem Winkel (blau) in \(F\). Hier gilt für den Winkel \(\alpha\) (rot): $$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{|DF|}{b} = \frac{h}{b} \\ \implies h = b \cdot \sin(\alpha)$$ ... und egal wo sich der Punkt \(C\) auf der Parallelen zu \(AB\) befindet; die Höhe ist immer \(h=|DF|\). Die Geraden durch \(AB\) und \(DC\) verlaufen parallel.