Wie komme ich auf die Zielfunktion in einer Extremwertaufgabe mit Lagrange-Methode?

Question

Ich hänge gerade an einer für mich schweren Extrermwertaufgabe mit zwei Nebenbedingungen fest, die wie folgt lautet:

"Wir betrachten ein gerades Prisma mit einem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche und dem gegebenen Volumen V. Bestimmen Sie mithilfe der Lagrange-Methode, in welchem Verhältnis zueinander die Prismakanten gewählt werden müssen, damit die Oberfläche minimal wird. Geben Sie zudem für dieses Prisma das Volumen und die Oberfläche in Abhängigkeit von der Kathete a an.
Hinweis: Nuten Sie, dass die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks durch A=ab/2 gegeben ist, wobei a und b die beiden Katheten sind. Wählen Sie die Kathete a als die Längen-Grundeinheit. Beziehen Sie die zweite Kathete b, die Hypotenuse c und die Höhe h des Prismas auf diese Grundeinheit. Beziehen Sie analog die Oberfläche auf a² und das Volumen auf a³."



Die Lagrange-Methode sieht doch eine Funktion vor, die folgendermaßen aussieht:

L=f(x)+Lamda*NB

f(x): Zielfunktion

NB: Nebenbedingung



Ich habe als Nebenbedingungen das Volumen V und die Oberfläche O genommen.

V=g₁(a,b,h)=(a*b*h)/2

O=g₂(a,b,c,h)=ab+ah+bh+ch

Allerdings habe ich den Verdacht, dass das nicht richtig ist.



Zudem weiß ich nicht, wie ich die Zielfunktion aufstelle.



Kann mir hierzu jemand helfen?

Answer 1

Wählen Sie die Kathete a als die Längen-Grundeinheit. Beziehen Sie die zweite Kathete b, die Hypotenuse c und die Höhe h des Prismas auf diese Grundeinheit.   Vielleicht ist das so gemeint:

  1. Kathete ist a    2. Kathete ist   b = x*a

Hypotenuse ist dann (Pythagoras)  c=  a*√(1+x^2)

           und die Höhe ist   h =  y*a .

Oberfläche:  O = 2*Dreieck + Mantel

                        =     a*b        +   h*(a+b+c)

                        =  x*a^2    +   y*a *( a+x*a + a*√(1+x^2)

                         =  x*a^2    +   a^2 * (y+x*y + y*√(1+x^2)   )

                         =  a^2 * (x + y+x*y + y*√(1+x^2)   )

Volumen  V = a*b/2 * h =  a*x*a/2 * y*a =  a^3 * x*y/2

Dann ist die Nebenbedingung   V =  a^3 * x*y/2

Die Zielfunktion ist die Oberfläche; denn die soll ja minimiert werden.

Also L(x,y,λ)   denn a und V sind ja Konstanten.

L(x,y,λ)  = a^2 * (x + y+x*y + y*√(1+x^2)   )  +  λ*(  V - a^3 * x*y/2 )

L'_x =  a^2 * (1 + y+ y*x/√(1+x^2)   )  -  λ* a^3 *y/2

L'_y =  a^2 * (1+x +√(1+x^2)   )  - λ* a^3 * x/2

L'_λ = V - a^3 * x*y/2

Vielleicht kann man auch einfach noch a=1 annehmen ?