Seien (an) und (bn) Folgen reeller Zahlen - Grenzwert

Question

Hallo liebe Mathefreunde,

Mir fehlt momentan für folgende Aufgabe jeder Ansatz:

Seien (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ Folgen reeller Zahlen mit lim_n→∞a_n=∞. Zeigen Sie:

(i) Ist (b_n)_n∈ℕ nach unten beschränkt (d.h. {b_n : n ∈ ℕ} ist nach unten beschränkt), so gilt auch: lim_n→∞ (a_n+b_n) = ∞.

Wie bereits oben erwähnt, habe ich gar keine Idee, wie ich an die Aufgabe rangehen soll und auch das Skript des Profs. ist nicht sehr hilfreich.

Es gibt zwar noch eine zweite Teilaufgabe, die ich aber dann erstmal selber probiere. Ich wäre für jeden Tipp oder Ansatz dankbar.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Folgen reeller Zahlen mit Limes | Grenzwert

Stichworte: folge,grenzwert

Seien (a_n) n element N und b_n n element N Folgen reeller Zahlen und \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n = oo

Zeigen sie:

Ist bn nach unten beschränkt so gilt auch

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) (a_n + b_n) = oo

Sie überfordert mich. !

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@Jesco: Deine Frage war ein Duplikat. Sie wurde verschoben.

Answer 1

Sei U_b eine untere Schranke von b_n.

Führe den Beweis doch indirekt.

Die Gegenannahme zur Behauptung wäre "a_n + b_n ist nach oben beschränkt mit einer oberer Schranke O".

Dann ist aber O≥ a_n + b_n  ≥ a_n + U_b , also O≥ a_n + U_b , bzw. O-U_b≥ a_n.

Da mit wäre a_n stets kleiner als die reelle Zahl  O-U_b und könnte nicht den Grenzwert ∞ haben.

Answer 2

Sei m eine untere Schranke von (b_n)_n∈ℕ. Ein solches m existiert, weil (b_n)_n∈ℕ nach unten beschränkt ist.

Sei ε ∈ ℝ.

Sei N ∈ ℕ mit a_n > ε - m für alle n > N. Ein solches N exstiert laut Definition von lim.

Dann ist a_n + m > ε für alle n > N.

Wegen b_n ≥ m für alle alle n > N ist dann auch a_n + b_n > ε für alle n > N.