Wie bestimme ich eine bijektive Funktion? f : ]0;1[ --> R

Question

Ich soll eine bijektiv Funktion erstellen mit

f : ]0;1[ --> R

Nur habe ich keine Ahnung wie ich eine solche Funktion ermittle. Es sollte bitte eine andere sein, als die Tangens Funktion.

Danke.

Answer 1

f : ]0;1[ --> R

Ich versuche es mal mit

f1 : ]0;1[ --> R, f(x):= 1/( x * (x-1))

f1 hat nun mal die richtigen Pole. Nun muss aber zwischen x=0 und x=1 noch eine Nullstelle liegen.

f2 : ]0;1[ --> R, f(x):= (x-1/2) /( x * (x-1))

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f₁(x) = 1/(x·(x-1))f₂(x) = (x-1/2)/(x·(x-1))

Comments

Vielen Dank, welche Funktionstypen eignen sich eigentlich noch um diese Aufgabe zu lösen?

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welche Funktionstypen eignen sich eigentlich noch um diese Aufgabe zu lösen?

alle stetigen monoton fallenden oder steigenden Funktionen, die in den Grenzen (hier 0 und 1) einen Pol mit jeweils unterschiedlichem Vorzeichen besitzen. Z.B. $\tan x$ im Intervall $]-\pi/2; +\pi/2[$. Sind die Grenzen $a$ und $b$ so macht man: $$f(x) = \tan\left( \pi \cdot \left(\frac{x-a}{b-a}-\frac12 \right)\right) \quad \mathbb{D}= ]a;b[$$

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Irgendetwas mit Polen, d.h. Nullstellen im Nenner ist geeignet.

Nimm beliebige Funktionen, bei denen du die Nullstellen kennst und davon den Kehrwert.

Z.B. auch f3(x) = 1 / sin(x)

Hier musst du aber vor das x noch einen geeigneten Faktor setzen und einen geeigneten Zähler bestimmen.

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f₁(x) = (x-1/2)/sin(π·x)