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Ich soll eine bijektiv Funktion erstellen mit

f : ]0;1[ --> R

Nur habe ich keine Ahnung wie ich eine solche Funktion ermittle. Es sollte bitte eine andere sein, als die Tangens Funktion.

Danke.

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f : ]0;1[ --> R

Ich versuche es mal mit

f1 : ]0;1[ --> R, f(x):= 1/( x * (x-1))

f1 hat nun mal die richtigen Pole. Nun muss aber zwischen x=0 und x=1 noch eine Nullstelle liegen.

[spoiler]

f2 : ]0;1[ --> R, f(x):= (x-1/2) /( x * (x-1))

~plot~ 1 /( x * (x-1));(x-1/2) /( x * (x-1)) ~plot~

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Vielen Dank, welche Funktionstypen eignen sich eigentlich noch um diese Aufgabe zu lösen?

welche Funktionstypen eignen sich eigentlich noch um diese Aufgabe zu lösen?

alle stetigen monoton fallenden oder steigenden Funktionen, die in den Grenzen (hier 0 und 1) einen Pol mit jeweils unterschiedlichem Vorzeichen besitzen. Z.B. \(\tan x\) im Intervall \(]-\pi/2; +\pi/2[\). Sind die Grenzen \(a\) und \(b\) so macht man: $$f(x) = \tan\left( \pi \cdot \left(\frac{x-a}{b-a}-\frac12 \right)\right) \quad \mathbb{D}= ]a;b[$$

Irgendetwas mit Polen, d.h. Nullstellen im Nenner ist geeignet.

Nimm beliebige Funktionen, bei denen du die Nullstellen kennst und davon den Kehrwert.

Z.B. auch f3(x) = 1 / sin(x)

Hier musst du aber vor das x noch einen geeigneten Faktor setzen und einen geeigneten Zähler bestimmen.

~plot~ (x-1/2) / sin(π*x) ~plot~

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