Beweis wenn f eine lineare Isometrie, dann ist f eine lineare Abbildung / Transformation

Question

Ich sitze hier schon wieder an einer Aufgabe und komme nicht weiter. Und zwar ist f in der Aufgabe eine lineare Isometrie. Ich soll nun zeigen, dass f eine lineare Abbildung ist.

Soweit so gut. Nun haben wir von unserem Dozenten aber einen Hinweis bekommen, wie wir den Beweis führen sollen.

 $\vec{e1}$=$\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}$, $\vec{e2}$ =$\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$ bilden die kanonische Basis des R². Sei f( $\vec{e1}$)= $\vec{bi}$ für i=1,2. Da f eine Isometrie ist gilt damit dass das Skalarprodukt < $\vec{ei}$,  $\vec{ej}$> = < $\vec{bi}$, $\vec{bj}$>. Damit können  $\vec{b1}$ und  $\vec{b2}$ nicht Vielfache eines einzigen Vektors sein, d.h. Sie bilden auch eine Basis des R².

Das erscheint mir bis hierher ziemlich logisch.

Jetzt sei  $\vec{v}$=x₁ $\vec{e1}$ + x₂  $\vec{e2}$ und f( $\vec{v}$)= λ₁  $\vec{b1}$ + λ₂  $\vec{b2}$. Ist  x_i = λ_i für i=1,2, so ist f eine lineare Abbildung. (Ergibt für mich auch noch Sinn, auch dass das ja jetzt gezeigt werden muss)

Um das zu zeigen muss gezeigt werden, dass das Skalarprodukt

< f( $\vec{v}$,  $\vec{bi}$> = λ_i und λ_i = <f( $\vec{v}$), f( $\vec{e1}$)> = x_i. 

Aber wie soll ich das jetzt zeigen? Ich weiß, dass f eine Isometrie ist, also die Längen erhalten bleiben. Nur wie komm ich dann auf die zu zeigenden Bedingungen?

Vielen dank schon mal für jeden Tipp!

Comments

Was ist eine lineare Isometrie?

Ich weiß was eine lineare Abbildung ist und was eine Isometrie ist. Eine lineare Isometrie wäre nach meiner Auffassung dann eine lineare Abbildung, die gleichzeitig eine Isometrie ist. Das scheint mir allerdings etwas zu einfach zu sein.

einen Hinweis bekommen, wie wir den Beweis führen sollen.

Entweder es ist ein Hinweis. Dann darfst du dir aussuchen, wie du den Beweis führst.

Oder du sollst den Beweis wie angegeben führen. Dann ist es eine Arbeitsanweisung und kein Hinweis.

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Eine lineare Isometrie ist eine Isometrie, für die zusätzlich gilt f(0)= 0.

Es ist als Hinweis notiert, doch so wie ich meinen Dozenten kenne, sollen wir den Beweis mit diesem Hinweis führen.