Ich sitze hier schon wieder an einer Aufgabe und komme nicht weiter. Und zwar ist f in der Aufgabe eine lineare Isometrie. Ich soll nun zeigen, dass f eine lineare Abbildung ist.
Soweit so gut. Nun haben wir von unserem Dozenten aber einen Hinweis bekommen, wie wir den Beweis führen sollen.
\( \vec{e1} \)=\( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \), \( \vec{e2} \) =\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) bilden die kanonische Basis des R2. Sei f( \( \vec{e1} \))= \( \vec{bi} \) für i=1,2. Da f eine Isometrie ist gilt damit dass das Skalarprodukt < \( \vec{ei} \), \( \vec{ej} \)> = < \( \vec{bi} \), \( \vec{bj} \)>. Damit können \( \vec{b1} \) und \( \vec{b2} \) nicht Vielfache eines einzigen Vektors sein, d.h. Sie bilden auch eine Basis des R2.
Das erscheint mir bis hierher ziemlich logisch.
Jetzt sei \( \vec{v} \)=x1 \( \vec{e1} \) + x2 \( \vec{e2} \) und f( \( \vec{v} \))= λ1 \( \vec{b1} \) + λ2 \( \vec{b2} \). Ist xi = λi für i=1,2, so ist f eine lineare Abbildung. (Ergibt für mich auch noch Sinn, auch dass das ja jetzt gezeigt werden muss)
Um das zu zeigen muss gezeigt werden, dass das Skalarprodukt
< f( \( \vec{v} \), \( \vec{bi} \)> = λi und λi = <f( \( \vec{v} \)), f( \( \vec{e1} \))> = xi.
Aber wie soll ich das jetzt zeigen? Ich weiß, dass f eine Isometrie ist, also die Längen erhalten bleiben. Nur wie komm ich dann auf die zu zeigenden Bedingungen?
Vielen dank schon mal für jeden Tipp!
