Zu zeigen: lim (n→∞) n^√(3^n+5^n+7^n) = 7

Question

Zu zeigen wäre das        ⁿ√(3ⁿ+5ⁿ+7ⁿ)   = 7 ist  für lim (n→∞)  

Danke für die Antworten

Answer 1

Hi,

Du kannst beispielsweise die e-Funktion nutzen.

Dann hast Du im Exponenten folgendes stehen (Die e-Funktion lasse ich der Übersichthalber mal weg)


$$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(3^n+5^n+7^n)}{n}$$

l'Hospital anwenden

$$\lim_{n\to\infty}\frac{3^n\cdot\ln(3) + 5^n\cdot\ln(5) + 7^n\cdot\ln(7)}{3^n+5^n+7^n}$$

Summe splitten:

$$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{3^n}{3^n+5^n+7^n}\right)\ln(3) + ...$$

Dann kann man jeweils mit dem Zähler kürzen. Die ersten beiden ergeben 0, da der Nenner gegen unendlich strebt. Nur der letzte Nenner strebt gegen 1, weswegen \(\ln(7)\) bestehen bleibt.

Letztlich haben wir also

$$\lim_{n\to\infty} e^{\ln(7)} = 7$$


Grüße

Answer 2

Ich vermute mal du meinst, dass die Wurzel nicht nicht nur vor dem 3ⁿ steht, sondern vor dem ganzen Term, also

$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n+5^n+7^n} \ ?$$

$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n+5^n+7^n} =  \lim_{n \to \infty} (3^n+5^n+7^n)^{1/n} = \lim_{n \to \infty} exp \left( \frac{ln(3^n+5^n+7^n)}{n} \right) = exp \left( \lim_{n \to \infty} \frac{ln(3^n+5^n+7^n)}{n} \right) $$

Hier l'Hospital anwenden:

$$ \Rightarrow \quad exp \left( \lim_{n \to \infty} \frac{3^n ln(3)+5^n ln(5) + 7^n ln(7)}{3^n+5^n+7^n} \right) = exp \left(\lim_{n \to \infty} \frac{3^n ln(3)}{3^n+5^n+7^n} + \lim_{n \to \infty} \frac{5^n ln(5)}{3^n+5^n+7^n} + \lim_{n \to \infty} \frac{7^n ln(7)}{3^n+5^n+7^n} \right) = exp \left(\lim_{n \to \infty} \frac{ln(3)}{1+ \left( \frac{5}{3} \right)^n+\left( \frac{7}{3} \right)^n} + \lim_{n \to \infty} \frac{ln(5)}{ \left( \frac{3}{5} \right)^n+1+\left( \frac{7}{5} \right)^n} + \lim_{n \to \infty} \frac{ln(7)}{\left( \frac{3}{7} \right)^n+ \left( \frac{5}{7} \right)^n+1} \right) = exp ( 0+0 + ln(7)) = exp(ln(7)) = 7$$