Probleme 1-r_1-2r_2 = -1+2r1+r2 zu lösen

Question

gegeben sind die Gleichungen

U₁(R) = -r₂+(1-r₁-r₂) und U₂(P) = r₁ +(-1)*(1-r₁-r₂)

wobei es sich bei r₁ und r₂ um Wahrscheinlichkeiten handelt, also 0≤r₁,r₂≤1

Zunächst habe ich die Gleichungen vereinfacht

U1(R) = -r₂+(1-r₁-r₂) = 1-r₁-2r₂

U2(P) = r₁ +(-1)*(1-r₁-r₂) = -1+2r₁+r₂

Diese habe ich dann gleichgesetzt und erhalte: 2/3 = r₁ + r₂

Daraus habe ich geschlossen, dass (1-r₁-r₂) = 1/3

Somit habe ich den Term (1-r₁-r₂) in den zwei Ausgangsgleichungen durch 1/3 ersetzt, bin mir aber nicht sicher ob das so gemacht werden darf. Ich erhalte:

U₁(R) = -r₂ +1/3

U₂(R) = r₁-1/3

Gleichsetzen und nach r₁ auflösen ergibt: -r₂+2/3 =r₁

Wenn ich dann r1 in den Ausgangsgleichungen ersetze und diese gleichsetze erhalte ich

1-(-r₂+2/3)-2r₂ = -1+2(-r₂+2/3)+r₂

Ab hier komme ich nicht weiter, da ich nach dem Vereinfachen irgendwann auf

1-2/3-r₂ = -1-r₂+4/3 komme und r₂ doch dann zwangsläufig verschwindet, wenn ich auf beiden Seiten +r₂ rechne.

Ich denke ich habe zuvor schon einen falschen Rechenschritt unternommen oder eine Rechenoperation durchgeführt die so keinen Sinn gemacht hat. Vielleicht wäre jemand so nett mir zu sagen wo ich einen Fehler gemacht habe bzw. ob es überhaupt möglich ist diese Gleichungen so zu lösen.

Vielen Dank

Comments

sage uns doch erst einmal (zur Sicherheit) was du mit den Gleichungen willst:

Der Begriff "lösen" wird oft sinnentstellend gebraucht.

"Diese habe ich dann gleichgesetzt"

Gleichsetzen sollte man nur Terme, von denen man weiß, dass sie gleich sein sollen. Davon schreibst du nichts. Wieso setzt du U1(R) und U2(P) gleich?

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vielen Dank für die Antwort.

zum Hintergrund:

Es geht darum in dem Spiel Stein, Schere, Papier die Nash GG in gemischten Strategien herauszufinden, wobei Spieler 1 nicht Schere spielen darf.

S2 S1	Stein	Schere	Papier
Stein	0,0	-1,1	1,-1
Papier	1,-1	0,0	-1,1

Die Wahrscheinlichkeit das Spieler 2 Stein spielt ist r1, die Wahrscheinlichkeit das er Schere Spielt r2 und Papier dann die Gegenwahrscheinlichkeit 1-r1-r2

Nun muss Spieler 2 seine Wahrscheinlichkeiten so wählen, dass Spieler 1 indifferent ist zwischen Stein und Papier. Der erwartete Nutzen von Spieler 1 (Stein) ist also: r1*0+(-1)*r2+(1-r1-r2)
Und der erwartete Nutzen von Spieler 1 für Papier: r1 +(-1)*(1-r1-r2)
Der Spieler ist indifferent, wenn r1 und r2 so gewählt werden, dass der erwartete Nutzen aus Stein und Papier gleich ist. Deshalb dass gleichsetzen.