Peano-Axiome: Warum darf die 1 kein Nachfolger sein?

Question

unserer Professor hat das heute recht unbefriedigend erklärt. Kann mir vielleicht jemand erklären, warum die 1 kein Nachfolger einer anderen Zahl sein darf auf den natürlichen Zahlen und nach den Peano-Axiomen?

Danke,

Thilo

Comments

In welcher Form liegen die Peano-Axiome denn vor?

Scheinbar ist bei euch 0 keine natürliche Zahl.

Standardmäßig enthalten die Peano-Axiome ein Axiom, dass die 0 (bzw. wenn man bei 1 beginnt die 1) keinen Nachfolger hat,  z.B. die hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome

Daher ist die Eigenschaft schlicht eine Forderung die man an die natürlichen Zahlen stellt.

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Meinst du echt die 1?

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Hm, ja. Mein Professor hat auch als erstes Axiom $$1 \in \mathbb{N}$$ angeschrieben. Nicht so wie auf Wikipedia, wo 0 in N steht.

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Natürliche Zahlen inkl. 0 wird oft mit N₀ bezeichnet im Unterschied zu N, das dann die Menge der positiven ganzen Zahlen bezeihnet.

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Dann ist müsste deine Frage ein Penao-Axiom beantworten!

Answer 1

Das ist falsch! 1 = 0*. Also der Nachfolger von 0.
Nur 0 € IN ist kein Nachfolger, das ist ein Peanoaxiom.

Comments

Es gibt einige Mathematiker für die die 0 keine natürliche Zahl.

So ein Fall ist wohl der Professor dieser Vorlesung.

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Ja, das habe ich mir auch im nachhinein gedacht, danke!