Logarithmen, Beweise a^{ln(b)}=b^{ln(a)} für a,b>0

Question

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1. Behauptung:

a^{ln(b)}=b^{ln(a)} für a,b>0

Mein Vorschlag/Beweis:

ln(b)*a= ln(a)*b

q.e.d.

Reicht die Zeile vollkommen aus?

2. Behauptung:

lim      (ln(x))/x^γ ) = 0 für γ > 0

x-> ∞

Mein Beweis:

Eine sehr hohe Zahl für x einsetzen und schauen, ob die Fkt den Grenzwert 0 hat?

Answer 1

Hallo

a) von der gegebenen Gleichung kommt man nicht auf deine , die auch falsch ist nimm mal a=e und b=e^2, dagegen ist die gegebene richtig.

b) Zahlen einsetzen kann einen auf eine Vermutung bringen, aber beweist nichts

 Regel von L'Hopital .

Gruß lul

Comments

warum klappt mein 1. Beweis nicht für die 1. Behauptung? Ich habe dazu die Rechenregel: ln(a^y)= y* ln(a) verwendet

Answer 2

ln(b)*a= ln(a)*b

Das ist falsch. Wähle b=2 und a=3

Das geht z.B so:

a^ln(b)=z|LN(...)

LN(b)*LN(a)=LN(z)

LN(b^{LN(a)})=LN(z)

b^{LN(a)}=z

zu b)

setze LN(x)=y und nutze die Eigenschaften der Exponentialfunktion.

Comments

Wie kommt man auf die Werte b=2 und a=3? Würde es gerne verstehen wollen.

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Wie kommt man auf die Werte b=2 und a=3?

Durch probieren. Woher du

ln(b)*a= ln(a)*b

als Gesetz hast weiß ich nicht. Es ist jedenfalls falsch.

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Das wäre beim Logarithmus der Fall. Aber weil wir a^{ln(b)} und b^{ln(b)} haben, kann ich nicht umschreiben. Es muss der Logarithmus in der Basis stehen.

zB. log (x^y) = y* log x

Habe es anscheinend mit dem Gesetz hier vertauscht. Aber Danke. Mir ist es jetzt klarer geworden.