Ebenengleichungen von Ebenen in speziellen Lagen

Question

Stellen Sie die Ebene durch eine geeignete Gleichung dar.

Wie geht das?

Answer 1

Hallo Max,

b)  zu der Ebene gehören genau alle Punkte mit der z-Koordinate 4, denn die Ebene soll zur x-y-Ebene parallel sein.

     Die Ebenengleichung  hat die einfache Form  z = 4

c)  Die Ebene verläuft durch die Punkte A(2|0|0) ,  B (2|3|0)  und  S(0|2|4)

     Man kann z.B.  eine Parameterform der Ebenengleichung ausrechnen:

          E:   \(\vec{x}\)  =  \(\overrightarrow{OA}\) +  r • \(\overrightarrow{AB}\)  +  s •  \(\overrightarrow{AS}\)

                 =   \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)  +  r  •  \(\left(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right)\)  +  s • \(\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right)\)

                 =  \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)  +  r  •  \(\begin{pmatrix} 0\\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)   +  s • \(\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang, hallo Max

Die Ebene verläuft durch ...  und  S(2|0|4)

Kleiner Abschreibfehler. Es ist S(0|2|4). Und die Parameterform der Ebene wäre dann $$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 2\\ 4\end{pmatrix}$$siehe auch Geoknecht3D.

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Hallo Werner,

Danke für den Hinweis, habe das editiert.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Die Ebene c) ist parallel zur y-Achse. (Erkennst du an den Hilfslinien in der Grundebene)

D.h. y kommt nicht in der Ebenengleichung vor.

Ansatz:

ax + cz = d

Nun Punkte einsetzen.

(2,0,0)

2a = d       (I)

(0,2,4)

4c = d      (II)

Nun d geeignet wählen. Z.B. kgV von 2 und 4, also 4

(I) ==> a = 2

(II) ==> c = 1

Mein Vorschlag:

E: 2x + y = 4

Kontrolle: Koordinaten der gegebenen Punkte einsetzen.