Welche der folgenden Mengen U sind Unterräume des Vektorraums V über dem Körper K? Geben Sie eine Basis von U an.

Question

Welche der folgenden Mengen U sind Unterräume des Vektorraums V über dem Körper K? Falls U
ein Unterraum ist, so geben Sie eine Basis von U an.

(a) K = R, V = R⁴ und U = {(0, x, 0, y)| x + 2y = 0};
(b) K = R, V = R⁵ und U = {(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅)| x₁ = 0} ∪ {(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅)| x₂ = 0};

c) K = R, V = R⁵ und U = {(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅)| x₁ = 0} ∪ {(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅)| x₂ = 0};
(d) K = R, V = R³ und U = {(x₁, x₂, x₃)| x₁² +x₂⁴+x₃⁶ = α} mit α ∈ R;
(e) K = F₂, V = F₂⁴ und
U = {(0, 0, 0, 0),(1, 0, 1, 0),(0, 1, 0, 0),(1, 1, 1, 1),(0, 0, 0, 1),(1, 1, 1, 0),(1, 0, 1, 1),(0, 1, 0, 1)}.

Hab keine Ahnung wie ich anfangen soll dieses Problem zu lösen.Hab nur gelernt, dass man es mit den Methoden v+w und a*v beweisen kann, aber ich weiß nichts über die Basis. Wie kann ich anfangen dies zu lösen? Kann das jemand erklären?

Answer 1

U = {(0, x, 0, y)| x + 2y = 0};   wegen x = -2y sehen die alle so aus:

 (0, -2y, 0, y) =  y* ( 0,-2,0,1)

Das sind alle Vielfachen von ( 0,-2,0,1), ein 1-dim Vektorraum mit

{( 0,-2,0,1) als Basis.

b) kein Unterraum, da  (0,1,1,1,1) und (1,0,1,1,1)

dazu gehören, aber ihre Summe nicht.

c=b ?

d) zu festem Alpha wohl eher nicht. sei etwa Alpha = 2

dann sind (1,1,0) und (0,1,1) dabei, aber ihre Summe nicht

F₂⁴ hat 16 Elemente und ist 4-dimensional.

Hier sind alle mit x1=x3, also sehen alle so aus

a
b
a
c

=  a* 1         +b* 0      +c* 0
         0               1            0
         1               0             0
         0               0             1

Das sind mögliche Vektoren die

eine Basis bilden.

ist der 3-dimensional

und hat als Basis