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Aufgabe:

Seien U, V1, V2 ≤ V Unterräume des K-Vektorraums V . Zeigen Sie:
1. Ist V2≤ U, dann gilt U ∩ (V1 + V2) = (U ∩ V1) + V2.
2. lin(V1 ∪ V2) = V1 + V2.
3. V1 ∪ V2 ≤ V ⇔ V1 ∪ V2 = lin(V1 ∪ V2).
4. Sei M ⊆ V . Dann ist lin(lin(M)) = lin(M).

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Ist V2≤ U, dann gilt U ∩ (V1 + V2) = (U ∩ V1) + V2.

Sei also   V2≤ U, und x ∈  U ∩ (V1 + V2)

==>    x ∈  U   und  x ∈  V1+V2

==>    x ∈  U  
       und : Es gibt u ∈  V1 und w  ∈  V2 mit x=u+w

==>  (wegen V2≤ U )    x ∈  U   und   w ∈  U  
      (und weil U ein Unterraum ist)  x-w =  u ∈  U

==>   x ∈  V1    und u ∈  U also x ∈ U ∩ V1.

Wegen x = u+w und u ∈ U ∩ V1 und   w ∈  V2

==>    x    ∈    (U ∩ V1) + V2.

umgekehrt: Sei    x   ∈    (U ∩ V1) + V2.

==>    Es gibt u ∈  U ∩ V1  und w ∈  V2   mit x=u+w

==>  (wegen V2≤ U ) also auch w   ∈ U
       also u   ∈    U  und  w   ∈ U und weil U ein
      Unterraum ist auch  u+w=x   ∈ U  #

Andererseits sind u  ∈ V1 und w ∈ V2 also

                        x = u + w  ∈ V1 + V2  ##

# und ## ergeben   x   ∈ U ∩ (V1 + V2)  . q.e.d.

von 228 k 🚀

Danke schonmal! Was bedeuten die Hashtags/Rauten?

Und noch eine Frage, ist das schon der vollständige Beweis von 1?

Welchen Punkt vermisst du denn ?

Ich vermisse keinen direkt. Ich verstehe es nur zu schlecht, um zu wissen ob es der vollständige Beweis ist...

Die Frage sollte vielleicht eher sein, wenn ich da jetzt so aufschreibe, ml muss ich dann noch was verändern oder ergänzen?

Ich finde es ist so OK.

Okay danke! :)

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