Welche der folgenden Teilmengen sind Unterräume des Vektorraums V?

Question

ich habe keine Ahnung wie ich das nach schauen kann :(

V bezeichne den Vektorraum der stetigen Funktionen von R nach R  über dem Körper R, dabei werden Addition von Funktionen und Multiplikation mit Skalaren punktweise auf den Funktionswerten definiert. Welche der folgenden Teilmengen sind Unterräume von V ?

A = {f ∈ V | f (−1) = f (1)}
B = {f ∈ V | f (−1) = −f (1)}
C = {f ∈ V | (f (−1)) = (f (1)) }
D = {f ∈ V | f ist momoton wachsend}
E = {f ∈ V | f ist monoton wachsend oder monoton fallend}

Natürlich gehört zu jeder Antwort eine kurze Begründung, insbesondere sind negative Antworten durch konkrete Beispiele zu belegen.

Danke, Leute :)

Answer 1

Eine Teilmenge U⊂V ist Unterraum von V, wenn gilt:

1. U≠∅.

2. f,g∈U ⇒ f+g∈U.

3. f∈U,c∈R ⇒ cf∈U.

Alle deine Teilmengen enthalten die Nullfunktion. Also ist die erste Bedingung immer erfüllt.

A:

(f+g)(-1) = f(-1)+g(-1) = f(1)+g(1) = (f+g)(1).

(cf)(-1) = cf(-1) = cf(1) = (cf)(1).

Also ist A Unterraum.

C ist das gleiche wie A?

Ist f monoton steigend, so ist -f monoton fallend, daher ist D kein Unterraum.

Ist f (x)= e^x und g(x) = e^-x, so ist f monoton steigend und g monoton fallend. Die Summe f+g ist aber nicht monoton. Also ist E kein Unterraum.