Question

Beweisen  Sie, dass für alle n ∈ N die Zahl
n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³
durch 9 teilbar ist.
Erinnerung: Eine Zahl n ∈ N heißt teilbar durch k ∈ N, falls es ein m ∈ N gibt, mit
n = km

Ich liege zur Zeit mit einer Grippe flach, und habe deshalb fast kein Kopf für Mathe.  Muss dennoch diese Aufgabe lösen. Könnte mir jemand die Formale Lösung dieser Aufgabe sagen?

Answer 1

Für n = 1 ist n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ = 1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36 durch 9 teilbar.

Ist n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ durch 9 teilbar, dann ist

        (n+1)³ + ((n+1) + 1)³ + ((n+1) + 2)³

        = (n+1)³ + (n+2)³ + (n+3)³

        = (n+1)³ + (n+2)³ + (n³ + 9n² + 27n + 27)

        = n³ + (n+1)³ + (n+2)³ + (9n² + 27n + 27)

        = (n³ + (n+1)³ + (n+2)³) + 9(n² + 3n + 3)

ebenfalls durch 9 teilbar.

Answer 2

n³+(n+1)³+(n+2)³= n³ + (n³+3n²+3n+1) + (n³+6n²+12n+8)=3n³ + 9n² + 15 n + 9

(umsortieren)

=9n² + 9 + 3(n³+5n)

Die ersten beiden Summenden sind durch 9 teilbar Jetzt ist nur noch zu zeigen, dass auch  3(n³+5n) durch 9 bzw

(n³+5n) durch 3 teilbar ist.

Nun gilt  n³+5n= n³-n +6n = n(n²-1) + 6n = n(n-1)(n+1) + 6n.

n(n-1)(n+1) ist als Produkt dreier aufeinanderfolgender nat. Zahlen immer durch 3 teilbar, 6n ist auch durch 3 teilbar..

Somit ist  (n³+5n) durch 3 und 3(n³+5n) durch 9 teilbar.

Setze das Puzzle zusammen.

Du kannst natürlich auch einen Induktionsbeweis machen.

Answer 3

n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³=3(n+1)(n²+2n+3) Kann man nachrechnen.

Er gibt genau 3 Fälle:

1. n ist durch 3 teilbar. Dann ist (n2+2n+3) durch 3 teilbar und 3(n+1)(n²+2n+3) durch 9 teilbar.

2. (n+1) ist durch 3 teilbar. Dann ist  3(n+1)(n²+2n+3) durch 9 teilbar.

3. (n+2) ist durch 3 teilbar. Dann ist (n²+2n+3) durch 3 teilbar und 3(n+1)(n2+2n+3) durch 9 teilbar.