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Aufgabe:

Lösen Sie folgendes unbestimmtes Integral:

\( \frac{4ax^3}{ \sqrt{1+a^2*x^8} } \) dx


Soll ich hier den Wurzelausdruck umschreiben und mit der partiellen Integration weiterrechnen?

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2 Antworten

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Hey du hast

$$ \int \frac{4ax^3}{( \sqrt{1+a^2*x^8} } \, dx $$

umschreiben

$$ \int \frac{4ax^3}{( \sqrt{1+(ax^4)^2} } \, dx $$

substituier mal

$$ ax^4 $$

dann kürzt sich einiges raus und du hast dann:

$$ \int\dfrac{4ax^3}{\sqrt{u^2+1}} \frac{1}{4ax^3}\,\mathrm{d}u$$

Das ist dann ein Standardintegral...

$$\int\dfrac{1}{\sqrt{u^2+1}}\,\mathrm{d}u $$

Avatar von 3,1 k

warum kann ich nicht den Nenner substituieren?

Und Du meinst, ich soll ax^3 substituieren?

Nope ax^4 :)

du hast ja unten

$$ a^2x^8 = (ax^4)^2 $$

wenn du dann ax^4 substituierst hast du

u^2 und kürst dann den Rest raus, so wie ich das in meiner Antwort vorgeschlagen habe :)

XXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Warum ist es nicht sinnvoll den Wurzelausdruck zu substituieren? Dies ist meine erste Substitutionsaufgabe.

Mittels Rücksubstitution käme man auf

\( \int\limits_{}^{} \) (4ax^3)/(\( \sqrt{(ax^4)^2+1} \) + C und das Integral wäre fertig bestimmt?

Fehlen, da nicht die Betragsstriche?

"Mittels Rücksubstitution käme man auf..."

Nein. Eigentlich steht in der Antwort bereits alles. Du substituierst genau das hier: "ax^4"

dann steht in deiner Klammer unter dem Bruch in der Wurzel ein u^2 !!!

wichtig beim substituieren ändert sich dx zu du !!!

du/dx = 4ax^3 --> dx = du/(4ax^3) <--- das hier setzt du dann für dx ein genauso wie ich das oben bereits alles gemacht habe :)

Dann kürzt du Zähler und Nenner und kommst genau auf das, was ich Standarintegral nenne...

Mehr nicht :D

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.... und das Integral wäre fertig bestimmt?

Solange  ∫  dasteht, ist das Integral nicht fertig bestimmt.

∫ 1/√(1 + u2) du  =  LN(√(u^2 + 1) + u) + c

ist lediglich ein bekanntes Integral.

Herleitung:


Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

Wo findet man, dass das Standardintegral = ln .... entspricht?

Kann man das irgendwo für alle Standardintegrale nachschauen? und fehlen in der ln Klammer nicht die Betragsstriche bei dir?

Das ist ein Standardintegral, wenn du die Funktion arsinh(x) kennst.

Denn arsinh(x)'=1/sqrt(x^2+1)

ja, und wie kommt man auf das ln?

Das ist eine explizite Darstellung der Funktion arsinh(x). Die schlägt man entweder nach oder leitet sie her.

Achso, danke sehr! 

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