Zeigen Sie mithilfe des abgebildeten Dreiecks, dass cos (arcsin (x)) = √1 – x²

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine auf einem Intervall I differenzierbare und umkehrbare Funktion f mit
f (x) ≠ 0 für alle x ∈ I. Dann ist die Umkehrfunktion ̅f differenzierbar auf Wf.
a) Leiten Sie mithilfe von f ( ̅f (x)) = x die Ableitungsregel ̅fʹ (x) = 1/fʹ ( ̅f (x)) her.
b) Leiten Sie die Funktion g mit g (x) = √x mit der Regel aus Teilaufgabe a) ab.
c) Die Umkehrfunktion ̅f der Sinusfunktion f mit Df = [– π/2; π/2 ] ist die Arkussinusfunktion ̅f mit
̅f (x) = arcsin (x). Zeigen Sie mithilfe des abgebildeten Dreiecks, dass cos (arcsin (x)) = √1 – x²
gilt, und folgern Sie daraus arcsinʹ (x) = 1/√1 – x² für alle x ∈ ]– 1; 1[

Answer 1

Ist wohl so ein Dreieck im Einheitskreis.

Da sind die Katheten sin(α) und cos(α) und die Hypotenuse ist 1.

Wenn man die jetzt etwas umbenennt, also etwa so dass

x= sin(α) und y=cos(α) . Dann ist ja (Pythagoras) y = √( 1-x^2)

Und es ist  arcsin(x) = α   und y= cos(α)=cos(arcsin(x)).