Analysis1 :Mengen deren Vereinigung und Durchschnitt, Abbildungen: ƒ(A∩ B)= ƒ(A) ∩ ƒ(B) ist manchmal falsch.

Question

a) sei
Iκ= ⟨1-(1÷k),k⟩, k=1,2,...

Welche Mengen werden durch ∞ ∞

I1∪I2, I1∪I2∪I3, ∪ Ik bzw. I1∩I2, I1∩I2∩I3, ∩ Ik

k=1 k=1

Beschrieben?

b) Zeigen Sie durch Angaben eines passenden Gegenbeispiels, dass die folgende Aussage falsch ist:

Für die Funktion ƒ:ℝ →ℝ , ƒ(x)_x² und die Teilmenge A,B von ℝ gilt

ƒ(A∩ B)= ƒ(A) ∩ ƒ(B).

Hinweis1: Sie können die Menge A,B für das Gegenbeispiel als (passende) Intervalle wählen.

Hinweis2: Für die Abbildung ƒ(x)=x² gilt ƒ (⟨2,3⟩)=⟨2²,3²⟩=⟨4,9⟩.

Comments

Ich nehme an, dass du mit geschickter Suche deine Aufgaben hier bereits findest.
Hast du eventuell ein Bild von a) als Ergänzung??????

Dein Text ist so nun doch nicht wirklich klar.

Answer 1

a) Ist leider nicht wirklich lesbar. Wenn ich das richtig in Erinnerung habe (kam vor ein paar Tagen schon mal)

Intervalle: [0, 1], [1/2 , 2], [3/4, 3] ,…,[1-1/100, 100] etc.

Vereinigung ergibt [0, ∞ [

Durchschnitt ergibt {1}. Also nur einen Punkt.

 

b) Zeigen Sie durch Angaben eines passenden Gegenbeispiels, dass die folgende Aussage falsch ist:

    Für die Funktion ƒ:ℝ →ℝ , ƒ(x)_x²  und die Teilmenge A,B von ℝ gilt

                                                        ƒ(A∩ B)= ƒ(A) ∩ ƒ(B).

Hinweis1: Sie können die Menge A,B für das Gegenbeispiel als (passende) Intervalle wählen.

Hinweis2: Für die Abbildung ƒ(x)=x² gilt ƒ (⟨2,3⟩)=⟨2²,3²⟩=⟨4,9⟩.

f([-3,-2]) = [4,9]

 

==> ƒ (⟨2,3⟩) n f([-3,-2]) = [4,9]

 

≠  ƒ (⟨2,3⟩ n [-3,-2])=f(∅) = ∅         qed.