Die Vorzeichenregel von René Descartes, übrigens auch derjenige, der den bekannten Satz "cogito ergo sum" sagte, gibt einen guten ersten Einblick, wie viele Nullstellen denn überhaupt exisitieren. Die Vorzeichenregel lautet:
"Die Anzahl aller positiven Nullstellen eines reellen Polynoms ist gleich der Zahl der Vorzeichenwechsel seiner Koeffizientenfolge oder um eine gerade natürliche Zahl kleiner als diese, wobei jede Nullstelle ihrer Vielfachheit entsprechend gezählt wird."$$p(x)=x^5-9x^4-\frac{82}{9}x^3+82x^2-9$$ Innerhalb der Koeffizientenfolge sind drei Vorzeichenwechsel enthalten. Daraus folgt, dass das Polynom entweder eine oder drei Nullstellen besitzt."
Charles-François Sturm war vielleicht nicht der größte Denker, aber ein ausgezeichneter schweizer Mathematiker. Er entwickelte die Sturmsche Kette, mit dem sich die Anzahl der Nullstellen eines reellen Polynoms in einem gegebenen Intervall berechnen lässt.
Bilde die Sturmsche Kette, multipliziere zuvor das Polynom mit \(\cdot 9\):$$P_0: \quad 9x^5-81x^4-82x^3+738x^2-81$$$$P_1: \quad 15x^4-108x^3-82x^2+492x$$$$P_2: \quad 3736x^3-8856x^2-13284x+2025$$$$P_3: \quad 13984772x^2-15792087x-2740311$$$$P_4: \quad 221554871893x-13904118225$$$$P_5: \quad 1$$ Du setzt nun die Intervallgrenzen in die \(P_n\) ein und guckst, ob sie ein negatives oder positives Vorzeichen haben:
Wir haben also eine Differenz von \(\Delta=4-1=3\), d. h., dass es Intervall drei Nullstellen gibt
