Gleichung von Matrizen lösen, gleichsetzen

Question

Meine eigentliche Aufgabe ist es zu zeigen, dass mit der Gruppe G= GL (2,ℝ) (also die Menge der Matrizne aus M (2,ℝ) mit der Determinante≠0) das Zentrum von G

Z(G)= {\( \begin{pmatrix} α& 0 \\ α & 0 \end{pmatrix} \) I α∈ℝ* }.

Um das nachzuprüfen gab unser Dozent uns den Typ, dass wir yx=xy nachweisen müssen mit x als unbekannte Matrix, die am Ende eben  \( \begin{pmatrix} α& 0 \\ α & 0 \end{pmatrix} \) sein soll und für y sollen wir uns eine einfache Matrix wählen, ich habe mich für \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \) entschieden.

Damit erhalte ich nach Multiplikation von yx=xy:  \( \begin{pmatrix} c & d \\ -a & -b \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} -b & a \\ -d & c \end{pmatrix} \).

Schreibe ich das als Gleichungen auf erhalte ich:

I: (c+b)x₁ + (d-a)x₂ = 0

II: (d-a)x₁ + (-b-c)x₂ = 0

Wie soll ich denn da weiterrechnen? Egal ob ich I von II abziehe oder addiere etc. ich bekomme ja nie die gleichen Buchstaben vor x₁ bzw. Vor x₂.

Vielleicht kann mir da ja jemand behilflich sein, damit ich am Ende für a=d=α und b=c=0 erhalte.

Answer 1

Also ich glaube, da hast du was falsch mitgeschrieben.

Ist das Zentrum nicht so was wie

a   0
0   a            ?

Denn wenn du

a  b 
c  d

von beiden Seiten multiplizierst mit

1  1
0  0

bekommst du einmal

a    a
c    c

und andersrum

a+c    b+d
   0       0

also muss schon mal c=0 gelten.

Dann machst du das gleiche mit deiner Matrix

0    1 
-1  0

und bekommst

-b  a
-d  c

und

c     d
-a   -b

also muss auch gelten

-b=c , also auch b=0

und a=d .

Damit müssen die alle so aussehen

a   0
0   a.

Comments

Aber wieso multiplizierst du zu Beginn einmal von beiden Seiten mit \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) ?

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Bezüglich dieser Matrix muss es ja auch kommutativ sein,

und bei diesem Beispiel merkt man schnell:   c=0

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Also um yx=xy nachzuweisen, muss ich mit zwei verschiedenen „einfach gewählten“ Matrizen rechnen?

Und ja du hast recht, ich hab mich verschrieben, es soll \( \begin{pmatrix} α&0 \\ 0& α \end{pmatrix} \) heißen

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Du könntest vielleicht noch andere betrachten. Die aus dem

Zentrum müssen ja mit allen kommutieren.