Cauchy-Verteilung: Warum kein Erwartungswert?

Question

Aufgabe:

Sei Y eine Zufallsvariable mit der Dichte

$$f(x)=\frac{1}{\pi}*\frac{1}{1+x^{2}}, x\in \mathbb{R}$$

(Y heißt Cauchy-verteilt.) Besitzt Y einen Erwartungswert?

Problem/Ansatz:

Die Antwort ist Nein, wie ich Google entnehme: Die Berechnung des Erwartungswertes ergebe ein undefiniertes Ergebnis. Ich bin aber nicht ganz sicher, warum. Bei mir ergibt sich für E(Y) die Formel $$\frac{log(1+x^{2})}{2 \pi }$$

Liegt es daran, dass ein negativer Logarithmus entsteht, wenn man schaut, ob die Formel gegen negativ unendlich konvergiert? Und ich somit in den Bereich der komplexen Zahlen komme, der Erwartungswert aber reell sein muss?

Answer 1

Der Erwartungswert berechnet sich durch $$ E = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx  $$ Die Stammfunktion dieses Integrals lautet $$  F(x) = \frac{ \ln(1+x^2) }{ 2 \pi}  $$ Da die Grenzwerte gegen \( \pm \infty  \) nicht existieren, gibt es auch keinen Erwartungswert.