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kann jemand mir helfen


Zeige, dass jede Folge in R eine monotone Teilfolge besitzt.


Danke

von

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1.Fall Folge ist unbeschränkt, somit ist klar, dass es eine monotone Teilfolge gibt.

2.Fall Folge ist beschränkt nach dem Satz von Bolzano Weierstaß gibt es eine konvergente Teilfolge a_k_n die gegen a konvergiert. Es gilt, dass mindesten eine der Mengen A = {a_k_n | n ∈ℕ ^ a_k_n > a},B={a_k_n | n ∈ℕ ^ a_k_n = a},C= {a_k_n | n ∈ℕ ^ a_k_n <a}  unendlich viele Elemente besitzt. Wenn A nun unendlich groß ist nehmen wir {b_n}_n∈ℕ = A∩{a_n}_n∈ℕ. Wir definieren die Folge c_n = b_k_n rekursiv durch c_0 = b_0 und k_(n+1) = min{ l ∈ ℕ | b_l < c_n ^ l > k_n} (Zeigen sie, dass dies immer existiert)

Änlich kann dies für den Fall,dass C unendlich viele Elemente besitzt gemacht werden.

von
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Hallo

R ist ein angeordneter Körper, also kann man das kleinste Element bestimmen , wenn die Folge nach unten beschränkt ist, (sonst das größte)   wenn es mehrere gleiche gibt alle nehmen,  dann ist man fertig,(Beispiel (-1)^n  wenn  nicht  unter den verbleibenden wieder das kleinste nehmen usw,  da die Folge unendlich ist, bekommt man so eine Monoton steigende Reihe,  falls die Folge nach oben beschränkt isst fängt man mit dem größten Element an.

 Gruß lul

von 106 k 🚀
R ist ein angeordneter Körper, also kann man das kleinste Element bestimmen , wenn die Folge nach unten beschränkt ist, ...

an =  1 + 1/n   , n∈ℕ>o

ist durch 1 nach unten beschränkt. Was ist das kleinste Element?

Hallo

du hast recht, also muss man genauer mit Minima bzw. Maxima statt Schranken arbeiten. und auch Folgen wie (-n)^n ansehen  die nach 2 Seiten unbeschränkt sind.

Danke Wolfgang  für die Kritik, mal wieder war ich zu schnell!

Gruß lul

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