Question

Berechne die Summe der Reihe ∑^∞_{i= 1}  1/9n² -3n -2.

Ich wusste hier nicht, wie ich vorgehen sollte und ob ich nur rechnen oder auch eine Induktion durchführen sollte.

Answer 1

Für  N > 0  definiere die Folge der Partialsummen durch$$\small a_N=\sum_{n=1}^N\frac{1}{9n^2-3n-2}.$$Partialbruchzerlegung liefert$$\small a_N=\frac{1}{3}\cdot\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right).$$Umnummerieren ergibt$$\small a_N=\frac{1}{3}\cdot\left(\sum_{n=1}^N\frac{1}{3n-2}-\sum_{n=2}^{N+1}\frac{1}{3n-2}\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{3\cdot 1-2}-\frac{1}{3(N+1)-2}\right).$$Es folgt$$\small a_N=\frac{1}{3}-\frac{1}{9N+3}.$$Also ist$$\lim_{N\to\infty}a_N=\frac{1}{3}.$$

Comments

Danke erst einmal für die tolle Rechnung.

Ich wollte nur noch mal fragen, wieso ∞ durch N ersetzt hast.

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Weil ich sonst die Summe nicht in zwei Teilsummen hätte zerlegen können. Diese existieren nämlich nicht für  N → ∞ (harmonische Reihe). Es genügt aber völlig, den Limes am Schluss der Rechnung zu bilden.