Ist φ surjektiv? Ist φ injektiv? (x, y)^φ := (−2 · x + y, y^2).

Question

Sei φ : ℤ × ℤ → ℤ × ℤ eine Abbildung, für alle (x, y) ∈ ℤ × ℤ sei

(x, y)^φ := (−2 · x + y, y²).

1) Ist φ surjektiv?

2) Ist φ injektiv?

Answer 1

(x, y)^φ  :=  (−2 · x + y , y²).

1)  φ ist nicht surjektiv, denn das Zahlenpaar (1 , -1) aus der Zielmenge hat  kein Urbild in der Definitionsmenge, weil die Bilder keine negative  2. Koordinate [v²]  haben können.

2)  φ ist nicht injektiv:

         (0 , 1)  ↦  ( -2*0 + 1 , 1² )   =  (1 , 1)

       (-1 , -1)  ↦  ( -2*(-1) + (-1) , (-1)² )  =  (1 , 1)

     Bei Injektivität dürfen  verschiedene Elemente der Definitionsmenge  aber                               keine gleichen Bilder  haben.

Gruß Wolfgang