Question

Untersuchen Sie, ob die Folge (a_n); n ∈ ℕ strikt monoton und beschränkt ist

a_n = \( \frac{1-n²}{n+2} \)

oder a_n = (1-n²)/(n+2)

Answer 1

Polynomdivision liefert

a_n = -n + 2 - 1 / (n+2)   also nach oben beschränkt und

nach unten nicht  und streng monoton fallend.

Comments

Hallo mathef, ich habe mal versucht selber etwas zu berechnen

Mit der Ermittlung der Beschränktheit bin ich irgendwie nicht wirklich zufrieden, kann man das irgendwie anders machen?

Monotonie links und Beschränktheit rechts.

Mfg.^^

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Bei der Beschränktheit würde ich noch genauer

argumentieren ( wie du es ja bei der Monotonie

sehr schön gemacht hast), also etwa so :

0 ist eine obere Schranke; denn

  ( 1-n^2 ) / (n+2 ) ≤  0    | * (n+2) [ Das ist positiv ! ]

          1 - n^2  ≤  0

                      1 ≤ n^2

gilt für alle n∈ℕ.  (Falls 0 bei euch zu ℕ gehört nimm halt 1

als obere Schranke.

und nach unten:  (Wenn es keine Schranke gibt, macht

man es meistens indirekt):  Sei C ∈ ℝ eine untere Schranke,

dann gilt für alle n∈ℕ     ( 1-n^2 ) / (n+2 ) ≥  C

                                        1 - n^2   ≥  Cn + 2C

                                        1 -2C    ≥  n^2 + Cn     ≥  n

Widerspruch, denn nach dem Axiom des Archimedes gibt es

für jede reelle Zahl ( also auch für       1 -2C )  eine

natürliche Zahl n, die größer ist.