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Aufgabe:


f(x) = \( \frac{x^2+4x-5}{2x^4-6x^3+4x} \)


Problem:

Wie berechne ich die rationalen UND reellen Polstellen, laut Aufgabenstellung, unterschiedlich/ was genau ist mit "möglichen" Nullstellen gemeint und wie berechne ich diese? Und wie bringe ich Nenner und Zähler in die Produktdarstellung?

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1 Antwort

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notwendige Voraussetzung für Nullstellen eines Bruchterm ist, dass der Zähler 0 ist.

Der Zähler hat die Nullstellen 1 und -5, also sind das MÖGLICHE Nullstellen der Funktion.

Man kann den Zähler jetzt auch als Produkt seiner Linearfaktoren schreiben. Wegen der beiden Zählernullstellen sind diese Linearfaktoren (x-1) und (x+5), und es gilt x²+4x-5=(x-1)(x+5).

Wenn wir jetzt aber x=1 in den Nenner einsetzen, wird der Nenner AUCH Null. Also ist 1 doch keine Nullstelle, weil der Bruch für x=1 nicht definiert ist.

Kommen wir zur Produktdarstellung des Nenners. Zunächst kann 2x ausgeklammert werden zu

2x(x³-3x²+2). Da wir schon wissen, dass 1 auch eine Nullstelle des Nenners ist, kann auch noch (x-1) ausgeklammert werden:

2x*(x-1)*(....). Was dann in der letzten Klammer übrig bleibt erhältst du, wenn du die Polynomdivision

(x³-3x²+2):(x-1) ausführst. Du solltest auf (x²-2x-2) kommen.

Der Nenner ist also 2x*(x-1)*(x²-2x-2).

Die Nullstellen der letzten Klammer sind 1+√3 und 1-√3, sodass diese Klammer als  (x-1-√3)(x-1+√3) geschrieben werden kann.

Dein Bruch hat also die Form

$$\frac{(x-1)(x+5)}{2x(x-1)(x-1-√3)(x-1+√3)}$$

Jetzt werte ihn in Bezug auf die geforderten Stellen aus.

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