Zeigen Sie mithilfe der Bernoulli-Ungleichung, dass e^{x} ≥ 1 + x für jede reelle Zahl x gilt

Question

1) Zeigen Sie mithilfe der Bernoulli-Ungleichung, dass e^{x} ≥ 1 + x für jede reelle Zahl x gilt.

2) Zeigen Sie mithilfe von (1), dass für x < 1 gilt: \( e^{x} ≤ \frac{1}{1-x} \)

Thema: Abschätzungen Exponentialgleichungen

Answer 1

Bernoullische Ungleichung

(1 + x)^n >= 1 + n·x für x >= -1 und n >= 0

Wir setzen x = y/n und erhalten

(1 + y/n)^n >= 1 + n·y/n für x = y/n >= -1 → y >= -n

(1 + y/n)^n >= 1 + y

Nun gilt

lim (n-->∞) (1 + y/n)^n = e^y

und damit

e^y >= 1 + y für alle y