Question

Sei V c R[T] der Untervektorraum aller Polynome vom Grad deg(P) ≤ 3. Wir betrachten die lineare Abbildung f: V ↦ V, P ↦ P' - P''.

Hierbei ist P'(T) die Ableitung des Polynoms P(T).

1) Stellen Sie die Matrix A ∈ Mat4x4 (ℝ) Der linearen Abbildung bezüglich der Monombasis T⁰, ..., T³ ∈ V auf.

2) Welches Polynom P(T) ∈ V entspricht dem Bild von (1,2,3,4) ∈ ℝ⁴ unter der linearen Abbildung?

3) Finden Sie einen nicht-trivialen Vektor aus dem Kern der linesren Abbildung.

Comments

Vorschlag zu (1): \(A=\begin{pmatrix} 0&1&-2&0\\0&0&2&-6\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}\).

Answer 1

Hallo

 du musst nur bestimmen was P'-P'' für die Basisvektoren 1,x,x^2,x^3 ist, das ergibt die 4 Spalten der Matrix,

Das Bild kannst du mit Hilfe der Matrix oder direkt aus der Funktionsvorschrift bestimmen genauso wie einen Vektor aus dem Kern.

Gruß lul

Comments

Können Sie das besser erklären , bzw. eine  Lösungsvorschlag schreiben?

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Hallo

 die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren. deshalb brauchst du erst mal die Bilder von 1,x,x² und x³, hast du das?

und schreibe den ersten Basisvektor 1 als (1,0,0,0)^T den zweiten als (0,1,0,0)^T

Beispiel x² wird abgebildet auf 2x-2 also auf (-2,2,0,0) usw.

zur Überprüfung hast du ja die fertige Antwort von Spacko

Gruß lul