Beweise oder widerlegen

Question

1.(f_n) ∈ ℕ mit f₁ = 2 und  f_n+1  = (−1) ⋅ f_n  für alle n ∈ ℕ 

Ist die Folge (f_n) n∈ℕ  arithmetisch oder geometrisch?

2. Beweise oder widerlege

Eine Zahl g ∈ ℝ ist Grenzwert einer Zahlenfolge  (a_n) n∈ℕ, wenn in jeder noch so kleinen
ε-Umgebung von unendlich viele Folgenglieder liegen

Kann mir jemand wenigstens bei einer dieser zwei Aufgaben weiter helfen?

Answer 1

Hallo Nele,

1)

soll wohl eher

(f_n)_n∈ℕ :   f₁ = 2   und  f_n+1 = (-1) · f_n  für alle n∈ℕ   heißen    (?)

       Der Quotient  q =  f_n+1 / f_n   = -1  ist konstant  →  die Folge ist geometrisch

2)

Bei der Folge mit  a_n = (-1)ⁿ      (-1, 1, -1, 1 .... )

liegen sowohl in jeder Umgebung von g₁ = 1  als auch  in jeder Umgebung von g₂  = - 1  unendlich viele Folgenglieder.

Die Folge hat aber keinen Grenzwert ( der müsste eindeutig sein!)

Gruß Wolfgang