Umgebungen von U und V sodass eine C1-Abbildung existiert

Question

K={(x,y)∈ℝ2: y³+y=x³-x}

Für welche (x₀,y₀) ∈ K gibt es Umgebungen U von x₀ und V von y₀ und eine C¹-Abbildung u: V→U mit

K∩(UxV)={(u(v),v):v∈V}?

Sei dazu f(x,y)=y³+y-x³+x

Es ist Df(x₀,y₀)=(-3x₀²+1   3y₀²+1)

det(-3x₀²+1)=-3x₀²+1 ≠0 für x∈ℝ ohne {-1/(3^0,5),1/(3^0,5)}.

Somit findet man u wie verlang für (x₀,y₀) ∈ K mit x₀≠1/(3^0,5) und x₀≠1/(3^0,5).

Annahme: x₀=1/(3^0,5) und es existiert ein u wie verlangt.

Also ist f(u(v),v)=0 für v∈ V.

Also 0=d/dv f(u(v),v) ≠0 und somit ein Widersprüch.

Leider verstehe ich das noch nicht so richtig. Also mir ist klar, wie man Df berechnet.

aber warum muss det(-3x₀²+1)≠0 sein? Also man wählt doch -3x₀²+1 weil das = u(v) ist oder?

Und für den Widerspruchsbeweis warum muss 0=d/dv f(u(v),v) gelten?

Comments

Kann mir das niemand erklären? Die ganze Lösung steht eigentlich schon da, ich verstehe sie nur nicht.