R ist Äquivalenzrelation a) Zeigen Sie, dass für alle a,b,c ∈N gilt: [(a,b)]R [(c,c + 1)]R = [(b,a)]R.

Question

Beweise in der Universität

sitze mal wieder vor einer Matheaufgabe, wo es um Beweise geht. Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig Starthilfe geben.

Erstmal zur Aufgabe:

Gegeben sei die auf N×N definierte Äquivalenzrelation

R = {((a,b),(c,d)) ∈ ((N×N)×(N×N)) | a + d = b + c}.

Ferner sei

Z = {[(a,b)]R | a,b ∈N}.

Durch [(a,b)]R [(c,d)]R = [(ac + bd,ad + bc)]R

ist eine Multiplikation auf Z definiert.

a) Zeigen Sie, dass für alle a,b,c ∈N gilt: [(a,b)]R [(c,c + 1)]R = [(b,a)]R.

b) Zeigen Sie, dass für alle a,b,c,d ∈N gilt: [(a,b)]R [(c,d)]R = [(b,a)]R [(d,c)]R.

Zeigen Sie, dass für alle a,b,c ∈N gilt: [(a,b)]R [(c,c)]R = [(c,c)]R.

Könnte mir jemand Schritt für Schritt bei der Aufgabe helfen, bzw. mir das irgendwie verständlicher erklären? Ich verstehe die Aufgabe gerade überhaupt nicht. Würde mich über Hilfe freuen.

LG und einen schönen Abend euch.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Gegeben sei die Äquivalenzrelation R={((a,b),(c,d)) ∈ ((ℕ×ℕ) × (ℕ×ℕ)) I a+d=b+c}.

Stichworte: äquivalenzrelation,multiplikation

kann mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen und mir diese mit Lösungsansatz/Lösung erklären?

Gegeben sei die auf ℕ×ℕ definierte Äquivalenzrelation
R={((a,b),(c,d)) ∈ ((ℕ×ℕ) × (ℕ×ℕ)) I a+d=b+c}.

Ferner sei ℤ={[(a,b)]_R I a,b ∈ℕ}.

Durch [(a,b)]_R⊗[(c,d)]_R=[(ac+bd,ad+bc)]_R ist eine Multiplikation auf ℤ definiert.

1) zeige, dass für alle a,b,c∈ℕ gilt: [(a,b)]_R⊗[(c,c+1)]_R = [(b,a)]_R

2) zeige, dass für alle a,b,c,d∈ℕ gilt: [(a,b)]_R⊗[(c,d)]_R = [(b,a)]_R⊗[(d,c)]_R

3) zeige, dass für alle a,b,c∈ℕ gilt: [(a,b)]_R⊗[(c,c)]_R=[(c,c)]_R

Answer 1

Z = {[(a,b)]R | a,b ∈N}.

Durch [(a,b)]R [(c,d)]R = [(ac + bd,ad + bc)]R

ist eine Multiplikation auf Z definiert.

Sind die ganzen R hoch oder tiefgestellt?

Egal:

[(a,b)]R [(c,d)]R = [(ac + bd,ad + bc)]R

ist eine Definition. D.h. eine Rechenvorschrift.

Nach dieser Vorschrift musst du in den Teilaufgaben rechnen.

Bsp. mit (c+1) für d

[(a,b)]R [(c,c + 1)]R = [(ac + b(c+1),(a(c+1) + bc)]R

= .....? Klammern auflösen.

= [(b,a)]R.

Kontrolliere die Äquivalenz mit R = {((a,b),(c,d)) ∈ ((N×N)×(N×N)) | a + d = b + c}.

Comments

Gut die a und die c habe ich jetzt verstanden, aber die b ist dann doch noch etwas undurchsichtig für mich.

---

b)

Berechne erst

[(a,b)]R [(c,d)]R 

und dann

 [(b,a)]R [(d,c)]R.

Vergleiche die Resultate. Sie sollten gleich (oder äquivalent) sein.

Answer 2

1) zeige, dass für alle a,b,c∈ℕ gilt: [(a,b)]_{R}⊗[(c,c+1)]_{R }= [(b,a)]_{R}

1. Setze das bei der definierten Multiplikation ein und vereinfache so weit wie möglich.

2. Prüfe, ob das Ergebnis äquivalent zum angegebenen Ergebnis ist.

Damit ist dann die erste Teilaufgabe erledigt.