Monoton wachsend und Fixpunkt

Question

könnte jemand mir helfen ? Danke 

Die Funktion f : [a, b] → [a, b] mit a, b ∈ ℝ und a < b sei monoton
wachsend und stetig.

Zu zeigen : für beliebiges  x₀ ∈ [a, b] ist die Iterationsfolge (x_n)_n∈ℕ mit x_n+1 = f(x_n)
a) monoton und

b) gegen einen Pukt ξ ∈ [a, b] konvergent. Fuer diesen Punkt gilt f(ξ) = ξ, d.h. ξ ist ein Fixpunkt von f.

Answer 1

Hallo Waelk,

so graphisch ist das klar, wenn man sich mal ein paar Beispiele ansieht (siehe auch Fixpunktiteration). Beweisen lässt sich das über eine Fallunterscheidung:

1. Fall $f(x_n) < x_n$, dann ist auch $x_{n+1} = f(x_n) < x_{n}$. Und da $f$ eine monoton wachsende Funktion ist, muss dann auch $f(x_{n+1}) < f(x_n) = x_{n+1}$ sein. D.h es folgt unmittelbar: $$f(x_n) < x_n \space \implies f(x_{n+1}) < x_{n+1} < x_n$$ jedes Folgeglied $x_{n+1}$ ist in diesem Fall kleiner als sein Vorgänger $x_n$. Die Folge ist also monoton fallend.

2. Fall $f(x_n) > x_n$, dann ist auch $x_{n+1} = f(x_n) > x_{n}$. Und da $f$ eine monoton wachsende Funktion ist, muss dann auch $f(x_{n+1}) > f(x_n) = x_{n+1}$ sein. D.h es folgt unmittelbar: $$f(x_n) > x_n \space \implies f(x_{n+1}) > x_{n+1} > x_n$$ jedes Folgeglied $x_{n+1}$ ist in diesem Fall größer als sein Vorgänger $x_n$. Die Folge ist also monoton wachsend.

3. Fall $f(x_n) = x_n$, dann ist $x_{n+1} = x_n = \xi \space \forall n$

zu (b): aus der Vorgabe, dass $f: [a,b] \to [a,b]$ abbildet und $f$ stetig ist, folgt, dass $f(a) \ge a$ und $f(b) \le b$ sein muss. Da $f$ stetig ist, folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass es mindestens einen Punkt $f(\xi) = \xi \in [a,b]$ geben muss; siehe auch hier. Damit wäre gezeigt, dass mindestens ein Punkt $\xi = f(\xi)$ existiert.

Wir haben schon gezeigt, dass die Folge $x_n$ monoton ist. Und da $f$ immer nur auf das Intervall $[a,b]$ abbildet, wird das Intervall auch nicht verlassen, woraus folgt, dass auch ein Grenzwert $\bar x$ existiert. Es ist $$\bar x = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f\left( \lim_{n \to \infty} x_n \right) = f(\bar x) \\ \quad \implies \bar x = \xi \quad \text{q.e.d.}$$ Gruß Werner

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Vielen Dank Werner-Salomon