Realteil, Imaginärteil und Betrag von komplexen Zahlen: 2/ (3+i)^2 + 2/(3-i)^2

Question

Ich soll Realteil, Imaginärteil und Betrag von folgendem berechnen:

2/ (3+i)^2    +    2/(3-i)^2

was ist hiervon die Lösung? Wie muss ich das angehen?

Danke für die Hilfe

Answer 1

Auf denselben Nenner bringen und schauen was passiert:

$$ z = \frac{2}{(3+i)^2} + \frac{2}{(3-i)^2} =  \frac{2(3-i)^2}{(3+i)^2(3-i)^2} + \frac{2(3+i)^2}{(3-i)^2(3+i)^2}$$

$$ = \frac{2(3-i)^2 + 2(3+i)^2}{(3-i)^2(3+i)^2} = \frac{2 (9 - 6i + i^2) + 2(9 + 6i + i^2)}{(9 - 6i + i^2)(9 + 6i + i^2)}$$

$$ = \frac{18-12i - 2 + 18 + 12i - 2}{81 + 54i - 9-54i+36+6i-9-6i+1}$$

$$ = \frac{32}{100} = \frac{8}{25}$$

$$ \Rightarrow \quad Re(z) = \frac{8}{25} \ , \quad Im(z) = 0 \ , \quad |z| = \frac{8}{25}$$

Comments

Super!!!   Ich kenn mich jetzt wirklich gut aus. Heißt das aber, wenn in der Angabe nur die normale Form stehen würde z.B.:  1± 7i Dass ich den Realteil einfach als 1 annehmen kann und den Imaginärteil als 7 bzw. -7??? sprich der betrag wäre wieder dasselbe von beiden.

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Würde deine komplexe Zahl z=1-7i lauten, dann ist dein Re(z)=1 und Im(z)=-7. Das ist ein großer Vorteil dieser Form - man kann Real- und Imaginäranteil direkt ablesen. Ein weiterer Vorteil ist das Berechnen des Betrages:

$$ | z | = \sqrt{(Re(z))^2 + (Im(z))^2} = \sqrt{ 1 + 49} = \sqrt{50}$$.


Wenn deine komplexe Zahl z=1+7i lautet, ist der Realanteil gleich und der Imaginäranteil Im(z)=+7 ! Der Betrag bleibt allerdings gleich, da die Vorzeichen für den Fall keine Rolle spielen und durch das Quadrieren eh herausfliegen.

Answer 2

2/ (3+i)²    +    2/(3-i)²

Erweitere auf den Hauptnenner (3+i)² (3-i)² = ( (3+i) (3-i)) ² = (9 + 1)^2 = 100

2/ (3+i)²    +    2/(3-i)² 

= (2(3-i)^2 + 2(3+i)^2 ) / 100

= ((3-i)^2 + (3+i)^2 ) / 50

=( 9 - 6i + i^2 + 9 + 6i + i^2) / 50

= (18 -2)/50 = 16/50 = 8/25

Realteil 8/25, Imaginärteil 0, Betrag 8/25.