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Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag von:

a) \( \frac{2-i}{2-3 i} \)
b) \( \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{-4} \)
c) allen Lösungen von \( z^{2}=i \)
d) \( \operatorname{Re}(2+3 i) \)

von
Vermutlich musst du bei den Resultaten von Johann Ribert noch explizit den Real- und den Imaginärteil ablesen und den Betrag der Resultate ausrechnen.

Zu c): Was weisst du über Polarkoordinaten, Winkel und Betrag von komplexen Zahlen?

Z.B: Darfst du verwenden, dass sich bei der Multiplikation 2er Zahlen die Beträge multiplizieren und die Winkel (Polardarstellung) addieren?

Vermutlich hast du Recht, was was die Beträge, sowie das Ablesen von Real- und Imaginärteil betrifft. Polarkoordinaten und Winkel haben wir, meines Wissens, noch nicht wirklich besprochen, war aber auch krank als das dran kam; aus dem Sript ist es zumindest nicht ersichtlich.

Der Betrag in ℂ, inklusive einfacher Rechenregeln+Dreiecksungleichung wurden eingeführt.

Zu deinem Beispiel: Da bin ich mir nicht sicher. Da steht nur, dass die Multiplikation in ℂ einer Drehstreckung in ℝ2 entspricht.

(Weiß das vielleicht einer von euch HHU-Studenten, die hier offensichtlich mitlesen?)

Gibt es denn noch einen anderen/einfacheren Lösungsweg, der sich nicht auf tiefergreifendes Wissen stützt?

Z.B: Darfst du verwenden, dass sich bei der Multiplikation 2er Zahlen die Beträge multiplizieren und die Winkel (Polardarstellung) addieren?

Entspricht exakt der Drehstreckung in deinem Skript.

1 Antwort

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Hier mal die Lösungen mit ein paar Rechenschritten...

a) \( \frac{(2-i) \cdot(2+3 i)}{(2-3 i) \cdot(2+3 i)}=\frac{7+4 i}{13} \frac{7}{13}+\frac{4}{13} i \)

b) \( \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{-4}=\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{4}=\left(\frac{(1-i) \cdot(1-i)}{(1-i)(1+i)}\right)^{4} \)
$$ =\left(\frac{(1-i) \cdot(1-i)}{(1-i)(1+i)}\right)^{4}=\left(\frac{-2 i}{2}\right)^{4}=1 $$

c) \( \pm e^{i \pi / 4}=\pm\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)

d) 2

von 3,7 k
Könntest du vielleicht nochmal genauer erklären, wie du auf die Lösung von c) kommst?

Hast du da irgendwie eine pq-Formel aufgestellt?

Alles andere ist mir klar, aber hier weiß ich so gar nicht, wie ich rechnen soll. Wäre echt super!

c) Den genauen Hintergrund kenne ich nicht. Es ist so, dass man beim Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl auch n Lösungen bekommt. Das ist etwas, dass man wissen muss, wenn man die Aufgabe richtig lösen will. Die Formel, die das beschreibt heißt Formel von Moivre. Es gilt:

\( \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{j \frac{\varphi+k \cdot 2 \pi}{n}} \)
\( k=0,1,2, \ldots, n-1 \)

Wenn Du die befolgst, dann erhältst Du auch die Lösungen.
φ = 90°; n = 2; k = 0, 1; r = 1;

Vielleicht findet sich noch jemand, der das genauer erklären kann.

ALso die Lösung von d) ist meiner meinung nach folgende:Re(2+3i)

=2 also haben wir grundsätzlich erstmal die zahl zwei die wir nun ja auch komplex darstellen können:

2 = 2+0*i

dann ist Re = 2 Im = 0 und |2+i0| =Wurzel(4+0) = 2 Also alles 2 aber nur hinzuschreiben = 2 reicht glaube ich nicht.

Zugegeben die Antwort ist etwas kurz im letzten Fall zu kurz; also Danke für die Ergänzung.

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