Wie zeigt man, dass die Untervektorräume U und W in Summe den ganzen Vektorraum ergeben?

Question

Ich stehe vor folgendem Problem:

Seien die Mengen

U={f∈ℝ^ℝ:f(x)=f(-x) für alle x∈ℝ} und

W={g∈ℝ^ℝ:g(x)=-g(-x) für alle x∈ℝ}

Zeige, dass U+W=ℝ^ℝ ist, mit ℝ^ℝ ist der ℝ-Vektorraum aller Abbildungen von ℝ nach ℝ.

Ich habe bereits folgenden Ansatz:

Da U+W ⊆ ℝ^ℝklar ist, muss noch gezeigt werden, dass auch

ℝ^ℝ⊆U+W ist. 

Außerdem weiß ich, dass U die Menge aller Achsensymmetrischen und W die Menge aller Punktsymmetrischen Funktionen ist.

Allerdings weiß ich nicht, wie ich den Beweis fortführen soll.

Ich bin über jede Antwort dankbar!

Answer 1

Sei f ∈ℝ^ℝ  .

Betrachte  h(x) = f(x) - f(-x) dann ist  h(-x) = f(-x) - f(x) = - h(x)

und       g(x) = f(x) + f(-x) = g(-x)

und 0,5h(x) ∈ W  und 0,5g(x) ∈ U also ist in U+W auch

 0,5*h(x) + 0,5*g(x) = 0,5*( f(x) - f(-x)) + 0,5*(f(x) + f(-x))  = f(x).

Comments

Warum ist 0,5h(x)∈U und 0,5 g(x)∈W? Müsste das nicht genau andersrum sein?

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Hast recht, aber das ändert ja an der Überlegung nicht viel.

Ich korrigiere das.