Beweisen das die Gleichung mit Elementen der Gruppe genau eine Lösung hat

Question

ich habe folgende Aufgabe und leider keinen Ansatz wie ich da vorgehen soll.

Aufgabe:

Es sei (G, ◦) eine Gruppe. Beweise:
Für a, b ∈ G besitzt die Gleichung x ◦ a = b genau eine Lösung, nämlich x = b ◦ a^-1

Kann mir da einer helfen?

Answer 1

Hallo Studentin,

e = neutrales Element (nE)  , a^-1 inverses Element (iE)  von a,

x ◦ a  =  b    |  ◦ a^-1   (Verknüpfunsergebnis existiert und ist eindeutig)

⇔  (x ◦ a) ◦ a^-1  =  b ◦ a^-1

⇔_AG   x ◦ (a ◦ a^-1) =  b ◦ a^-1

⇔_iE    x ◦ e =    b ◦ a^-1

⇔_nE     x  =  b ◦ a^-1 

Gruß Wolfgang