Extremwertaufgabe - Kurvendiskussion Beispielaufgabe Eisenstange

Question

Hallo Community,

ich habe folgendes Problem.

Eine Eisenstange soll durch einen senkrechten zylindrischen Schacht mit 0.8m Durchmesser in einen waagrecht verlaufenden zylindrischen Abwasserkanal von 2.4m Durchmesser geschoben werden.

Wie lang darf die Stange höchstens sein?

Bei welchem Winkel (bezogen auf den senkrechten Schacht) berührt die Stange dann die Wände beider Schächte?

Wie lang ragt dann die Stange in den senkrechten Schacht?

Answer 1

f(x) = -m·(x - 0.8) + 2.4

Y-Achsenabschnitt
f(0) = -m·(0 - 0.8) + 2.4 = 0.8·m + 2.4

Nullstelle
f(x) = -m·(x - 0.8) + 2.4 = 0 → x = 2.4/m + 0.8

Länge
d^2 = (0.8·m + 2.4)^2 + (2.4/m + 0.8)^2 = 16·m^2/25 + 96·m/25 + 96/(25·m) + 144/(25·m^2) + 32/5
d^2' = 32·m/25 - 96/(25·m^2) - 288/(25·m^3) + 96/25 = 0 → m = 3^(1/3) = 1.442

d^2 = 18.70
d = 4.324 m

Mach dir eine Skizze. Rechne die Aufgabe schrittweise durch. Prüfe das Ergebnis an der Zeichnung auf Plausibilität. Berechne dann auch die restlichen Aufgabenstellungen.