Zeigen Sie die angegebenen Rechenregeln für die symmetrische Differenz zweier Mengen. A, B, C ∈ P(X).

Question

Aufgabe:

Seien \( X \) eine Menge und \( \mathcal{P}(X) \) ihre Potenzmenge. Die symmetrische Differenz von \( A, B \subseteq \)
\( X \) ist die Menge \( A \Delta B=(A \cup B) \backslash(A \cap B) . \)

Zeigen Sie für \( A, B, C \in \mathcal{P}(X) \)

(i) \( A \triangle(B \Delta C)=(A \triangle B) \Delta C \)
(ii) \( A \Delta B=B \Delta A \)
(iii) \( A \Delta \varnothing=A \)
(iv) \( A \Delta A=\varnothing \)

Comments

Bei
https://www.mathelounge.de/55359/mengenoperationen-symmetrische-differenz-a-b-u-b-a
findest du wenigsten mal ein Venn-Diagramm für die symmetrische Differenz.

Daran ist sofort ersichtlich, dass die symmetrische Differenz kommutativ ist, d.h., dass (ii) stimmt.

---

Definition der symmetrischen Differenz vgl. https://www.mathelounge.de/55359/mengenoperationen-symmetrische-differenz-a-b-u-b-a

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lösung der Aufgabe

Die Aufgaben beinhalten das Beweisen der Eigenschaften der symmetrischen Differenz. Wir nehmen die Definition der symmetrischen Differenz \( A \Delta B = (A \cup B) \backslash (A \cap B) \) und zeigen, wie sich die vier Eigenschaften von \( A, B, C \in \mathcal{P}(X) \) ableiten lassen.

i) \( A \Delta (B \Delta C) = (A \Delta B) \Delta C \)

Um diese Eigenschaft zu beweisen, betrachten wir die Elemente, die in jeweils einer der Mengen, aber nicht in allen dreien enthalten sind. Das bedeutet, ein Element gehört genau zu einer oder zu genau zwei der Mengen \( A, B, \) oder \( C \), aber nicht zu allen dreien gleichzeitig.

1. Ein Element \( x \) in \( A \Delta (B \Delta C) \) bedeutet, dass \( x \) entweder in \( A \) oder \( (B \Delta C) \) aber nicht in beiden liegt.
2. \( B \Delta C \) umfasst Elemente, die in \( B \) oder \( C \), aber nicht in beiden sind.
3. Setzt man dies in die erste Aussage ein, ergibt sich, dass \( x \) in \( A \), \( B \), oder \( C \) sein muss, aber in einer ungeraden Anzahl dieser Mengen.
4. Dies ist genau die Bedingung, die erfüllt ist, wenn \( x \) in \( (A \Delta B) \Delta C \) liegt. Auch hier ist \( x \) in einer ungeraden Anzahl der Mengen \( A, B, C \).

Somit ist die Aussage \( A \Delta (B \Delta C) = (A \Delta B) \Delta C \) bewiesen.

ii) \( A \Delta B = B \Delta A \)

Die Aussage ergibt sich direkt aus der Definition der symmetrischen Differenz:

\( A \Delta B = (A \cup B) \backslash (A \cap B) \)

\( B \Delta A = (B \cup A) \backslash (B \cap A) \)

Da die Vereinigung und der Schnitt von Mengen kommutative Operationen sind (\( A \cup B = B \cup A \) und \( A \cap B = B \cap A \)), folgt daraus direkt, dass \( A \Delta B = B \Delta A \).

iii) \( A \Delta \varnothing = A \)

Die symmetrische Differenz von einer Menge \( A \) und der leeren Menge \( \varnothing \) ist einfach \( A \) selbst:

1. \( A \Delta \varnothing = (A \cup \varnothing) \backslash (A \cap \varnothing) \)
2. Da \( A \cup \varnothing = A \) und \( A \cap \varnothing = \varnothing \),
3. ergibt sich \( A \Delta \varnothing = A \backslash \varnothing = A \).

Somit ist die Aussage \( A \Delta \varnothing = A \) bewiesen.

iv) \( A \Delta A = \varnothing \)

Die symmetrische Differenz von einer Menge \( A \) mit sich selbst führt dazu, dass alle Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind, herausgefiltert werden:

1. \( A \Delta A = (A \cup A) \backslash (A \cap A) \)
2. Da \( A \cup A = A \) und \( A \cap A = A \),
3. ergibt sich \( A \Delta A = A \backslash A = \varnothing \).

Dies zeigt, dass die symmetrische Differenz von einer Menge mit sich selbst die leere Menge ist, womit \( A \Delta A = \varnothing \) bewiesen ist.