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 Die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B ist definiert als

AB := (A B) \ (A B) .

  1. a)  Zeigen Sie, dass für eine gegebene Menge M die Potenzmenge V := (M) (d.h. die Menge aller Teilmengen von M) mit der symmetrischen Differenz als Verknüpfung eine abelsche Gruppe ist.

  2. b)  Sei K der Körper Z/2Z. Zeigen Sie, dass V mit der symmetrischen Differenz als innere Verknüpfung und mit der durch 

    ·: K×V V, (λ,A)↦λ·A:= {  , wenn λ = 0

                                                      A, wenn λ = 1

    definierten äußeren Verknüpfung ein K-Vektorraum ist. 

von

1 Antwort

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zu 1) Abgeschlossenheit und assoziativ und kommutativ
 ist wohl, klar
einfach einsetzen und ausrechnen.
neutrales Element ist eine Menge N mit

AN = A für alle A, also

(A N) \ (A N)  = A  und das gilt für N = leere Menge

und für das Inverse B zu A muss ja dann gelten


(A B) \ (A B)  = leere Menge und das klappt für B=A,

also ist jede Menge A zu sich selbst invers.




von 228 k 🚀

Danke erstmal !

Abgeschlossenheit ist mir leider noch nicht ganz klar. Was muss ich da genau machen. Stehe da gerade etwas auf dem Schlauch.

Hast du noch eine Idee zu 2)?

Abgeschlossen heißt doch nur:

wenn man die sym. Dif zweier Teilmengen von M

bildet, gibt es wieder eine Teilm. von M.

Das ist trivial.

Bei 2 musst du einfach alle Vektorraumaxiome durchgehen.

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