Verknüpfungstafel Körper, Körperaxiome

Question

Hey zusammen, ich hänge an folgender Aufgabe:


(F4-Sudoku). Es sei K ein Körper mit genau vier Elementen, welche wir mit a, b, c, d bezeichnen.
Ferner gelte a + b = ab = c. Bestimmen Sie die Addition und die Multiplikation von K durch Angabe der
Verknüpfungstafeln. Begründen Sie.

           +   a   b   c   d             Das bei a+a=2a hinkommen muss ist ja
           a        c                        logisch, aber welches Axiom wäre das?
           b                                 Außerdem ist a+b=c=b+a aufgrund der
           c                                 Kommutitativität der addition
           d

            x    a    b    c    d
           a           c
           b
           c
           d

Meine Frage nun: Wie löst man die Rechnungen mit dem "d" und welche Axiome beschreiben a+a etc. oder gibt es keine dafür?

Comments

Tipp: in einem Körper brauchst du zwingend neutrale Elemente. Überleg dir mal, welches der gegebenen als neutrales Element in Frage kommt. Benutze dafür z.B. 1 und 0.

Answer 1

es muss ein Nullelement  0  und ein Einselement  1  geben. D.h.  0  ist das bezogen auf die Addition (+)  neutrale  und  1  das bezogen auf die Multiplikation (•) neutrale Element.
Aus  a•b = c  folgt  a ≠ 0  und  b ≠ 0, da sonst auch  c = 0  wäre. Umgekehrt ist  c ≠ 0, da sonst  a = 0  oder  b = 0  sein muss. Aus der Eindeutigkeit des Nullelements folgt  d = 0.
Aus  a•b = c  folgt  a ≠ 1  und  b ≠ 1, denn sonst wäre  b = c, bzw.  a = c. Da außerdem  d ≠ 1  ist,  muss  c = 1  sein.
Aus  a•b = c  und  a•c = a  und  a•d = d  folgt  a•a = b  und damit  b•b = a. Damit ist die Multiplikationstafel komplett.
Aus  a + b = c  folgt  b•(a + b) = b•c ⇒ b•a + b•b = b•c ⇒ c + a = b  und daraus  a + a = d..
Aus  a + b = c  folgt  a•(a + b) = a•c ⇒ a•a + a•b = a•c ⇒ b + c = a  und daraus  c + c  = d.
Daraus folgt  b + b = d  und  c + c = d.
Damit ist auch die Additionstafel komplett.