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Hallo alle zusammen :)


Beweise oder widerlege:

K= {a+b√3; a,b ∈ℚ} versehen mit der Addition und Multiplikation aus ℝ ist ein Körper.

 

Kann mir da jemand vielleicht weiterhelfen, wie ich hier die Körperaxiome nachrechne?

 

LG, guest25

von

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Hi,

die Körperaxiome sind Assoziativität, Kommutativität, Existenz eines neutralen Elements und Existenz eines inversen Elements und zwar für die Addition und die Multiplikation. Ich zeige mal die Existenz des inversen Elements für die Multiplikation. Für ein Element \( a+b\sqrt{3} \) ist das Element \( \left( \frac{a}{a^2-3b^2}-\frac{a}{a^2-3b^2}\sqrt{3} \right) \) das inverse Element wie man durch nachrechnen bestätigen kann. Es gehört auch zu \( K_1 \), da \( \frac{a}{a^2-3b^2}\in \mathbb Q \) weil \( a \) und \( b\in \mathbb Q \) Auf die Lösung kommt man, wenn man die Elemente \( a+b\sqrt{3} \) und \( c+d\sqrt{3} \)  multipliziert und fordert, dass das Produkt 1 ergibt. Durch Koeffizienten Vergleich mit den Termen die \(  \sqrt{3} \) enthalten und die die diesen Term nicht enthalten kommt man auf die Lösung.

Die anderen Eigenschaften kann man genauso nachrechnen.
von 34 k

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