Lösung von: Ableitungen der Funktionen mit der Definition der Differenzierbarkeit

Question

Aufgabe: bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen mit der Definition der Differenzierbarkeit(also als Grenzwert des Differenzenquotienten)

Bitte helft mir dabei Danke an alle (:

Answer 1

z.B.

a)

$$f'(x_0)= \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\=\lim_{x\to x_0} \frac{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x_0^2}}{x - x_0} \\=\lim_{x\to x_0} \frac{\frac{x_0^2-x^2}{x^2x_0^2}}{x-x_0} \\=\lim_{x\to x_0} - \frac{\frac{x^2-x_0^2}{x^2x_0^2}}{x-x_0} \\=\lim_{x\to x_0}-\frac{x+x_0}{x^2x_0^2} \\= - \frac{2x_0}{x_0^4} \\= -\frac{2}{x_0^3}$$

b)

$$ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\=\lim_{x\to x_0} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x_0}}{x - x_0}\\=\lim_{x\to x_0} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x_0}}{(\sqrt{x} - \sqrt{x_0})(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})}$$

Schaffst du den Rest alleine?

Comments

könntest du vielleicht erklären wie du auf den Nenner bei der letzten Gleichung bei b) gekommen bist?

Answer 2

b)

a) 25x^4+sin(5x)*5

b) Quotientenregel:

u= sin(x^2+pi) ->u' = cos(x^2+pi)*2x

v= cos(3pi-x^2) -> v' = -sin(3pi-x^2)*(-2x) = 2x*(3pi-x^2)

....

c) (5x-5)(x+5)= 5x^2+20x-25

-> e^((5x-5)*(x+5))* (5x^2+20x-25)

Comments

müsste es nicht bei u= sin(x²-2pi) -> u'= 2x*cos(x²) sein?