Ungleichung zeigen: 3/(1/a+1/b+1/c)≤(a+b+c)/3

Question

Zeigen Sie folgende Ungleichungen:

(b) Für \( a, b, c \in \mathbb{R} \) mit \( a, b, c>0 \) gilt \( \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \leq \frac{a+b+c}{3} \).

Answer 1

3 / (1/a + 1/b + 1/c) <= (a + b + c) / 3

3 / ((bc + ac + ab)/(abc)) <= (a + b + c) / 3

3 * (abc) / (bc + ac + ab) <= (a + b + c) / 3

9 * (abc) <= (a + b + c) * (bc + ac + ab)

9 * (abc) <= a^2·b + a^2·c + a·b^2 + 3·a·b·c + a·c^2 + b^2·c + b·c^2

9 <= a/b + a/c + b/a + c/a + b/c + c/b + 3

6 <= a/b + b/a + a/c + c/a + b/c + c/b

a/b + b/a ist immer >= 2

6 <= 2 + 2 + 2