Ein Würfel wird so lange geworfen bis eine 6 erscheint. Allerdings nur max. 10 mal.

Question

Aufgabe:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem jeweiligen Wurf eine 6 fällt?

Problem/Ansatz:

P(X=1) = 1/6

P(X=2) = 5/6 * 1/6

P(X=3) = 5/6 * 5/6 * 1/6

P(X=k) = (5/6)^k-1 * 1/6

Warum gilt aber für P(X=10) = (5/6)⁹ und nicht P(X=10) = (5/6)⁹ * 1/6

Comments

Es gilt doch P(X=10) = (5/6)^{9} * 1/6, wenn das die Wahrscheinlichkeit sein soll, dass im 10. Wurf eine Sechs fällt.

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Ja das dachte ich mir auch...aber es steht so:

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Tja, ich würde sagen: Hier irrt das Buch!

Eigentlich muss man laut Aufgabenstellung zunächst mal eine geeignete Zufallsgröße X, die das Spiel beschreibt, definieren. Dies hat die Musterlösung nicht gemacht und darin liegt schon das erste Problem.

Answer 1

Warum gilt aber für P(X=10) = (5/6)9 und nicht P(X=10) = (5/6)9 * 1/6

Weil die Bedingung nicht ist, dass im 10. Versuch eine 6 fällt. Man hört spätestens nach dem 10. Wurf auf egal was für eine Zahl im 10. Wurf fällt.

Comments

Diese Interpretation rechtfertigt die Kontrolllösung durch Änderung der Aufgabenstellung. Implizit wird dabei davon ausgegangen, dass die Zufallsgröße X die Anzahl der Würfe zählt. Gemäß Aufgabenstellung hätte man das aber vorher(!) festlegen müssen.

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Sicher hätte auch die Zufallsgröße X angeben können wie viele Einsen bis zum maximal 10. Wurf gefallen sind.

Die Frage ist ja was das naheliegendste ist

Warten auf die erste 6

Ein fairer Würfel wird solange geworfen, bis eine 6 erzielt wird, aber höchstens 10-mal.
a) Beschreiben Sie das Spiel durch eine Zufallsgröße X. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert μ = E(X) sowie die Varianz V(X) und die Standardabweichung σ der Zufallsgröße X.

Ich erinnere mich da an die Aufgabe einer Fortführung von Zahlenfolgen.

2, 4, 6, ...

Grundsätzlich kann eine endliche Zahlenfolge auf unendlich viele Weisen fortgeführt werden. Gesucht ist meist die naheliegendste Lösung.

Beschreiben Sie das Spiel durch eine Zufallsgröße X

Was könnte also die Zufallsgröße X in diesem Beispiel hier sinnvollerweise beschreiben?

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Nahe liegend wäre es auch, wenn die Zufallsgröße X die Anzahl der Würfe bis zur ersten Sechs angibt, so, wie es die Überschrift andeutet. Dann wäre P(X=10) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste Sechs im 10. Wurf fällt und die Rechnung des Fragers wäre völlig richtig.

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Die Summe der Wahrscheinlichkeiten in einer Wahrscheinlichkeitsverteillung muss doch immer 1 sein oder?

Wie kann X die Anzahl bis zur ersten 6 sein, wenn eben in den ersten 10 Würfen keine 6 geworfen wird.

Dieses "aber maximal 10 mal" muss man auch interpretieren.

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Ja, indem man P(X>10) hinzunimmt.

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Und was machst du dann mit P(X > 10) ?

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Na nichts. Das ist nur der Sammler für Restwahrscheinlichkeit.