Zeigen Sie AB=0 → Rang(A) + Rang(B) ≤ n und geben Sie Beispiele solcher Matrizen

Question

Aufgabe:

$\text{Für die quadratischen Matrizen } A,B \in \text{Mat}(n;\mathbb{K})\text{ gelte:} \\ A*B=0 \\[10pt]\text{(1) Zeigen Sie:} \\ AB=0 \Longrightarrow \text{Rang}(A) + \text{Rang} (B) \leq n$

$\text{(2) Geben Sie } \forall n\in \mathbb{N} \text{ Beispiele solcher Matrizen mit: Rang (A) + Rang (B) } \leq n \land A\neq0 ,B\neq 0 \text{ an.}$

Problem/Ansatz:

Ich hatte bei (1) die Dimensionsformel zu benutzen. Jedoch ist es mir noch nicht ganz gelungen die Definition aus den Skript:

$$(\text{Im } A:= \{Ax; x\in \mathbb{K}^n\}= \text{Im }h_A) \land (\text{Ker } A:= \{x; Ax=0\}= \text{Ker }h_A)\Longrightarrow \text{dim Ker A + Rang A = n} \\[10pt]\text{Für quadratische Matrizen } A\in \mathbb{K}^{n \times n}: \\\text{Ker A}=\{0\} \Longleftrightarrow \text{Im A =}\mathbb{K}^n \Longleftrightarrow \text{Rang A= n}$$

hierauf zu transferieren:

$$n:=\text{dim Ker A + Rang A+ dim Ker B + Rang B} \\AB=0 \Longrightarrow \text{Rang}(A) + \text{Rang} (B) \leq n \\\Longleftrightarrow \text{Rang}(A) + \text{Rang} (B) \leq \text{dim Ker A + Rang A+ dim Ker B + Rang B}$$

Jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich die z.z Beziehung beweisen soll.

Bei (2) verstehe ich nicht genau vorgehen soll...

Answer 1

Für (2) kannst du doch immer die Matrix  A nehmen, die

links oben ne 1 und sonst alles 0en hat.

Und für B die gleiche..

Die haben beide den Rang 1.

Also ist rang(A)+rang(B)= 2  und

das ist für alle n>1 jedenfalls kleiner oder gleich n.

Für nn = 1 hätte ich allerdings keine Idee, und würde sogar meinen,

dass die Aussage da falsch ist, denn wenn dann

rang(A) + rang(B) ≤ n gelten soll, muss ja wohl einer

der Ränge 0 sein, und das hat doch nur die 0-Matrix, aber

die soll es ja gerade nicht sein???

Comments

Vielen Dank für Ihre Hilfe.

Ich bitte um Verzeihung, mir ist beim tippen ein Fehler passiert.

Die Aussage bei (2) lautet wie folgt:

$$\text{(2) Geben Sie } \forall n\in \mathbb{N} \text{ Beispiele solcher Matrizen mit: Rang (A) + Rang (B) } = n \land A\neq0 ,B\neq 0 \text{ an.}$$

Wenn ich richtig verstanden habe, muss ich bei (2) dann so vorgehen:

$$\text{Sei } A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \land B= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\\Longrightarrow \text{Rang} A=1 \land \text{Rang} B=1 \\ \Longrightarrow\text{Rang (A) + Rang (B)=2}$$

Stimmt bei (1) mein Beweisweg oder wahr zumindest mein Ansatz richtig? XD